1-2子空間與子空間的分解2013

1、2線性子空間與子空間的分解在通常的三維幾何空間中，考慮一個(gè)通過(guò)原點(diǎn)的平面。不難看出，這個(gè)平面上的所有向量對(duì)于加法和數(shù)量乘法組成一個(gè)二維的線性空間，這就是說(shuō)，它一方面是三維幾何空間的一個(gè)部分，同時(shí)它對(duì)于原來(lái)的運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間。一般地，我們不僅要研究整個(gè)線性空間的結(jié)構(gòu)，而且要研究它的線性子空間，一方面線性子空間本身有它的應(yīng)用，另一方面通過(guò)研究線性子空間可以更深刻地揭示整個(gè)線性空間的結(jié)構(gòu)。一、線性子空間的定義定義7設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)線性空

2、間，是的一非空VFWV子集。如果對(duì)于中所定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域WVF上的一個(gè)線性空間，則稱為的一個(gè)線性子空間，簡(jiǎn)稱子空WV間。驗(yàn)證是否為的子空間，實(shí)際上只需考察對(duì)于中加WVWV法和數(shù)乘運(yùn)算是否封閉就行了。因?yàn)榫€性空間定義中的規(guī)則在對(duì)線性運(yùn)算是封閉的情況下必是滿足的。8)(~(1)W例1任何線性空間有兩個(gè)平凡子空間或假子空間；一個(gè)是它自身，另一個(gè)是，稱為零元素空間（零子空VV???0?W間）。除此之外的子空間稱為非平凡子空間或真子

3、空間。下面舉幾個(gè)常見(jiàn)的例子。例2給定，集合12()mnnAaaaR??????()|0nNAxAxxR?????1212()()()|nnnRAALaaaspanaaayyAxxR?????????分別是和上的子空間，依次稱為的零空間(核)和列空間nRmRA（值域），零空間的維數(shù)稱為零度零度的零空間是齊次線性方程組的全部解向量構(gòu)成的A0?Ax維線性空間的一個(gè)子空間。因?yàn)榻饪臻g的基就是齊次線性nnR方程組的基礎(chǔ)解系。所以，。)())(di

4、m(AranknAN??的左零空間和行空間A??()|0TTmNAxAxxR???個(gè)基，則這個(gè)向量必定可擴(kuò)充為的基。mnV證明若，則定理已成立。若，則中必存在一個(gè)向量nm?nm?nV不能由線性表出，從而線性1?m?m???21?121?mm?????無(wú)關(guān)。如果，則定理已成立。否則繼續(xù)上述步驟。經(jīng)過(guò)nm??1次，則可得到內(nèi)個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，使mn?nVmn?為的基。nmm?????121???nV二、子空間的分解子空間作為子集，有子集的交

5、（），和（）21WW?21WW?等運(yùn)算，對(duì)它們有如下定理。定理3設(shè)是線性空間的子空間，則有21WWV(1)與的交集是的子1W2W21WW???21|WW??????且V空間，稱為與的交空間。1W2W(2)與的和1W2W21WW???221121|WW???????????是的子空間，稱為與的和空間。V1W2W證明(1)由可知因而是非空的.10W?20W?210WW??21WW?其次，如果即而且因此??21WW??1W???2W???因此