3(91-134)微分中值定理及其應用

1、91第三章第三章微分中值定理及其應用微分中值定理及其應用1.11.1微分中值定理及其應用網絡圖微分中值定理及其應用網絡圖1.21.2內容提要與釋疑解難內容提要與釋疑解難定義定義若存在若存在x0的某鄰域的某鄰域，使得對一切，使得對一切，都有，都有???0xU???0xUx?))()(()()(00xfxfxfxf??則稱則稱為極大值（極小值）為極大值（極小值），稱，稱x0為極大（?。┲迭c。極大值、極小值統稱為極值，極大值為極大（?。┲迭c。

2、極大值、極小值統稱為極值，極大值)(0xf點、極小值點統稱為極值點。點、極小值點統稱為極值點。費馬（費馬（Femat）定理（取到極值的必要條件））定理（取到極值的必要條件）設f(x)在點在點x0處取到極值，且處取到極值，且存在，則存在，則)(0xf.0)(0?xf反之不真，例如反之不真，例如但f(0)不是極值。不是極值。0)0(3)()(23???fxxfxxf費馬定理常用于證明費馬定理常用于證明f(x)=0有一個根，找一個有一個根，找

3、一個F(x)，使，使證明證明F（x）在某點）在某點x0).()(xfxF?導數的應用導數的應用微分中值定理微分中值定理費馬定理費馬定理羅爾定理羅爾定理拉格朗日定理拉格朗日定理柯西定理柯西定理泰勒公式泰勒公式中值定理應用中值定理應用方程根的存在性方程根的存在性適合某種條件適合某種條件的存在性的存在性?不等式不等式函數性態(tài)研究函數性態(tài)研究最大值與最小值最大值與最小值曲線的局部性質曲線的局部性質單調區(qū)間單調區(qū)間極值極值凹向與拐點凹向與拐點漸近

4、線漸近線函數圖形的描繪函數圖形的描繪曲率曲率曲率圓曲率圓中心中心——漸屈線漸屈線半徑半徑93推論推論若f(x)在區(qū)間在區(qū)間X上連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間X內部可導，當內部可導，當內部，內部，且f(x)在??x)0(0)(??xfX的任何于區(qū)間上，的任何于區(qū)間上，則f(x)在區(qū)間在區(qū)間X上嚴格遞增（減）上嚴格遞增（減）。0)(?xf證由，知，知f(x)在區(qū)間在區(qū)間X上遞增，假設上遞增，假設f(x)在X上不是嚴格遞增，即存在上不是嚴格遞增，

5、即存在0)(?xf上遞增，所以任給上遞增，所以任給，有，有][)()()(21212121xxxfxfxfxxxx在由有且????][21xxx?從而從而)()()()(121xfxfxfxf???][)()(211xxxxfxf??所以所以與條件矛盾，故與條件矛盾，故f(x)在區(qū)間在區(qū)間X上嚴格遞增，對于上嚴格遞增，對于，同理，同理][0)(21xxxxf??0)(?xf可證可證f(x)在X上嚴格遞減。上嚴格遞減。單調性定理及推論是證

6、明函數在某區(qū)間上（嚴格）單調或是常值函數和求函數（嚴格）單調區(qū)單調性定理及推論是證明函數在某區(qū)間上（嚴格）單調或是常值函數和求函數（嚴格）單調區(qū)間的重要方法。間的重要方法?？挛鳎挛鳎–auchy）定理）定理設f(x)g(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間[ab]上滿足下列條件：上滿足下列條件：（1）f(x)g(x)在[ab]上連續(xù)上連續(xù)（2）f(x)g(x)在(ab)內可導內可導（3），則至少，則至少)(0)(baxxg??存在一點存在一點使)(b

7、a??)()()()()()(??gfagbgafbf???證明與拉格朗日證明類似，只要把拉格朗日定理證明過程中證明與拉格朗日證明類似，只要把拉格朗日定理證明過程中b換成換成g(b)，a換成換成g(a)，x換成換成g(x)即可，讀者可自證。即可，讀者可自證。典型錯誤典型錯誤:對f(x)g(x)在[ab]上分別應用拉格朗日定理有上分別應用拉格朗日定理有。bagfabgabfagbgafbf?????????????其中)()())(())

8、(()()()()(實際上分子、分母中的兩個實際上分子、分母中的兩個是不一樣。是不一樣。?柯西定理也可以用來證明不等式及適合某種條件柯西定理也可以用來證明不等式及適合某種條件的存在性，但沒有拉格朗日定理和羅爾定理的存在性，但沒有拉格朗日定理和羅爾定理?用得多。用得多。泰勒（泰勒（Tayl）定理）定理設f(x)在區(qū)間在區(qū)間X上存在上存在n1階導數，對每一個階導數，對每一個任給任給0??x，有，有0xxx???且)()!1()()(!)()