第3章 微分中值定理及其應用(2)

1、第3章微分中值定理及其應用微分中值定理及其應用(第二講泰勒公式、函數(shù)極值等第二講泰勒公式、函數(shù)極值等)一應用麥克勞林公式，按一應用麥克勞林公式，按乘冪展開函數(shù)乘冪展開函數(shù)。x32)13()(???xxxf解：解：是6次多項式，次多項式，)(xf???????????????4432!40!30!2000xfxfxfxffxf??????????????6655!60!50xfxf??計算出：計算出：??????93213301)0(02

2、????????xxxxff??????????????7200108007200270060)0(654???????fffff故65432930453091)(xxxxxxxf???????二.當時，求函數(shù)時，求函數(shù)的階泰勒公式。階泰勒公式。10??xxxf1)(?n解：解：????211??????xxfxxxf??????????????13!121????????kkkxkxfxxf???????!211111????????

3、??fff??????!1!31nffn???????????????????????????121111!1!111!1??????????????nnnnnnxnnxnfxR??（在和之間）之間）??????11121????????nnnx??1?x????????????21!211111?????????xfxffxxf????????xRxnfnnn?????1!1???????????????1212111111?????

4、???????????nnnnxxxx??三.求函數(shù)求函數(shù)的階麥克勞林公式。階麥克勞林公式。xxexf?)(n解:????????xexfxexfxexfxxx?????21)(，??????xkexfxk???xxexf?)(????????nnxfnxfxff0!10!2100)(2??????????1)1(!11????nnxfn?????04??fxf0ln22ln???xx即為增函數(shù)為增函數(shù)2ln2lnxx?xln?22xx

5、??三試證方程三試證方程僅有一個實根。僅有一個實根。xx?sin解:顯然顯然為方程為方程的一個根又的一個根又0?x??xxxfsin??????????????0cos1xxxf?時單調(diào)增加單調(diào)增加????????x??xf??xxxfsin???在僅有一個零點僅有一個零點.即方程即方程僅有一個實根僅有一個實根??????xx?sin五五在上存在二階導數(shù)且上存在二階導數(shù)且）（）、（xgxf??ba，證明：（，證明：（1）在）在0)()(

6、)()(0)(???????bgagbfafxg內(nèi)。（2）內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點，使得，使得)(ba0)(?xg)(ba?。)()()()(????gfgf?????分析分析:(1)要證要證在上非零上非零用反證法更方便用反證法更方便若不然若不然至少有一至少有一）（xg)(ba個零點個零點則由則由的三個零點的三個零點可推出可推出有2個零點個零點從??bac?）（xg）（xg而有一個零點與已知矛盾有一個零點與已知矛盾.)(xg??(2

7、)要證要證即證方程即證方程有解有解則)()()()(????gfgf?????????????0??xfxgxgxf取???????????????dxxfxgxgxfxF??????????????????????dxxgxfxfxgdxxgxfxgxf從而可以證明結(jié)論從而可以證明結(jié)論.????????xfxgxgxf??證明證明:(1)反證法反證法:若不然若不然則在則在內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點使得使得)(bac0?）（cg于是由已知