一注結構基礎考試筆記

1、1上午篇：一、一、《高等數(shù)學》共《高等數(shù)學》共24題1.1函數(shù)與極限1、數(shù)列極限的定義，│xna│＜ε，記作limxn=a。2、數(shù)列極限的性質1）數(shù)列收斂，則極限唯一。2）數(shù)列收斂則有界，無界則發(fā)散。3）數(shù)列與極限同號(保號性)。4）數(shù)列收斂于a，則其子數(shù)列也收斂于a。5）有界一定收斂，發(fā)散一定無界都是錯的。特例是1、1、1、1、(1)n1。3、函數(shù)極限的定義，│f(x)A│＜ε。f(x)在點x0有無極限與f(x)在點x0有無定義無關。

2、f(x)在點在點x0極限存在的充要條件是左右極限存在且相等。極限存在的充要條件是左右極限存在且相等。4、函數(shù)極限的性質1）極限若存在，則唯一。2）如果極限為A，則必有│f(x)│≤M(局部有界性)。3）函數(shù)與極限同號(保號性)。4）如果極限limf(x)存在，xn為f(x)定義域收斂于x0的數(shù)列，則f(xn)必收斂，且limf(xn)=limf(x)。5、無窮小與無窮大1）極限為0是無窮??；│f(x)│＞M是無窮大。無窮小與無窮大互為倒

3、數(shù)。2）無窮小的運算，有限個無窮小的和、積為無窮?。怀?shù)與無窮小的積為無窮??；有界函數(shù)與無窮小的積為無窮小；6、極限的運算法則，1）函數(shù)(數(shù)列)和、差、積、商的極限等于極限的和、差、積、商；2）lim[cf(x)]=c.limf(x)；3）lim[f(x)]n=[limf(x)]n。4）limf(x)=a，limg(x)=b，如果limf(x)＞limg(x)，則a＞b。5）復合函數(shù)，limg(x)=u0，limf(u)=A，u=g(x

4、)，則limx→x0f[g(x)]=limu→u0f(u)=A。7、極限存在準則，兩個重要極限1）夾逼定理，g(x)≤f(x)≤h(x)如果limg(x)=limh(x)=A，則limf(x)=A。數(shù)列極限也有同性。2）limx→0(sinxx)=1；limx→∞(sinxx)=0；limx→0(cosx)=1。limx→0[loga(1x)x]=1lna。3）單調有界數(shù)列必有極限。limx→∞[11n)]n1=e；limx→∞[11(

5、1n)]n=e；4）limx→∞(11x)x=e；limx→0(1x)1x=e；limx→∞(11x)x=1e。limx→0[(ax1)x]=lna。8、無窮小的比較limβα=m，m=0，β是α的高階無窮小；m=∞，β是α的低階無窮??；m=c≠0，β是α的同階無窮??；m=1，β是α的等價無窮小。limβαk=c≠0，β是α的k階無窮小。34、可導可導連續(xù)。連續(xù)?？蓪Ш瘮?shù)必是連續(xù)的，連續(xù)則不一定可導（折線變化的函數(shù)）。?5、求導法則，①

6、(uv)’=u’v’；(u.v)’=u’.vu.v’；(uv)’=(u’.vu.v’)v2；(cu)’=c.u’。②反函數(shù)求導，[f1(x)]’=1f’(y)；③復合函數(shù)求導。6、高階導數(shù)，常用的有(ex)(n)=ex；(sinx)(n)=sin(xn.π2)；(cosx)(n)=cos(xn.π2)；[ln(1x)](n)=[(1)n1(n1)!](1x)n；0!=1；(xn)(n)=n!；(xn)(n1)=0；7、隱函數(shù)求導，注意y

7、是關于x的函數(shù)y=y(x)，dydx=(FxFy)；ЗzЗx=(FxFz)；ЗzЗy=(FyFz)；參數(shù)函數(shù)求導，x、y對t求導。8、微分的定義，Δy=f(x0Δx)f(x0)=A.Δx0(Δx)，既dy=A.Δx；9、微分的幾何意義，表示f(x)在切線上點的縱坐標的相應增量。10、微分的運算，與導數(shù)對應。11、微分的中值定理與函數(shù)的性態(tài)1）費馬定理，若f(x)在(ab)內有一點x0取最值（極值），則f’(x0)=0。2）羅爾定理，若f

8、(x)在[ab]上連續(xù)，在(ab)內可導且f(a)=f(b)，則必有一點使f’(ξ)=0。3）拉格拉日中值定理，若f(x)在[ab]上連續(xù)，在(ab)內可導，則必有點f’(ξ)=[f(b)f(a)](ba)。4）若在區(qū)間f’(x)=0，則f(x)=C（常數(shù)）。5）柯西中值定理，f(x)、g(x)在[ab]上連續(xù)，在(ab)內可導，則至少有一點使得[f(b)f(a)][g(b)g(a)]=f’(ξ)g’(ξ)。12、洛必達法則，解決00，

9、∞∞型求極限問題。limx→a[f(x)g(x)]=limx→a[f’(x)g’(x)]。使用條件是g’(x)≠0，limx→a[f’(x)g’(x)]存在或無窮大。其他求極限的方法：對數(shù)極限法，可將00、∞0、1∞轉化為0.∞型，從而再變?yōu)?0，∞∞型，利用洛必達法則求解?！啊蕖蕖毙涂捎猛ǚ只糖蠼?。13、函數(shù)的單調區(qū)間與極值1）f(x)在[ab]上連續(xù)在(ab)內可導則f’(x)＞0f(x)單增；f’(x)＜0f(x)單減。f’(x

10、)=0為駐點。2）f(x)連續(xù)，在除x0點外可導，則可通過x0左右兩側f’(x)的符號判斷x0是極大值、極小值；f’(x)不變號，則x0不是極值點。極值點必是駐點；導數(shù)不存在的點也可能是極值極值點必是駐點；導數(shù)不存在的點也可能是極值點。點。3）f(x)在x0點二階可導，且f’(x0)=0，f”(x0)≠0，則f”(x0)＜0，x0為極大值；f”(x0)＞0，x0為極小值。極值與最值的區(qū)別：極值用坐標點表示，最值是一個單純的極值與最值的區(qū)