一注結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)考試筆記

1、1上午篇：一、一、《高等數(shù)學(xué)》共《高等數(shù)學(xué)》共24題1.1函數(shù)與極限1、數(shù)列極限的定義，│xna│＜ε，記作limxn=a。2、數(shù)列極限的性質(zhì)1）數(shù)列收斂，則極限唯一。2）數(shù)列收斂則有界，無(wú)界則發(fā)散。3）數(shù)列與極限同號(hào)(保號(hào)性)。4）數(shù)列收斂于a，則其子數(shù)列也收斂于a。5）有界一定收斂，發(fā)散一定無(wú)界都是錯(cuò)的。特例是1、1、1、1、(1)n1。3、函數(shù)極限的定義，│f(x)A│＜ε。f(x)在點(diǎn)x0有無(wú)極限與f(x)在點(diǎn)x0有無(wú)定義無(wú)關(guān)。

2、f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0極限存在的充要條件是左右極限存在且相等。極限存在的充要條件是左右極限存在且相等。4、函數(shù)極限的性質(zhì)1）極限若存在，則唯一。2）如果極限為A，則必有│f(x)│≤M(局部有界性)。3）函數(shù)與極限同號(hào)(保號(hào)性)。4）如果極限limf(x)存在，xn為f(x)定義域收斂于x0的數(shù)列，則f(xn)必收斂，且limf(xn)=limf(x)。5、無(wú)窮小與無(wú)窮大1）極限為0是無(wú)窮?。哗(x)│＞M是無(wú)窮大。無(wú)窮小與無(wú)窮大互為倒

3、數(shù)。2）無(wú)窮小的運(yùn)算，有限個(gè)無(wú)窮小的和、積為無(wú)窮?。怀?shù)與無(wú)窮小的積為無(wú)窮??；有界函數(shù)與無(wú)窮小的積為無(wú)窮小；6、極限的運(yùn)算法則，1）函數(shù)(數(shù)列)和、差、積、商的極限等于極限的和、差、積、商；2）lim[cf(x)]=c.limf(x)；3）lim[f(x)]n=[limf(x)]n。4）limf(x)=a，limg(x)=b，如果limf(x)＞limg(x)，則a＞b。5）復(fù)合函數(shù)，limg(x)=u0，limf(u)=A，u=g(x

4、)，則limx→x0f[g(x)]=limu→u0f(u)=A。7、極限存在準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限1）夾逼定理，g(x)≤f(x)≤h(x)如果limg(x)=limh(x)=A，則limf(x)=A。數(shù)列極限也有同性。2）limx→0(sinxx)=1；limx→∞(sinxx)=0；limx→0(cosx)=1。limx→0[loga(1x)x]=1lna。3）單調(diào)有界數(shù)列必有極限。limx→∞[11n)]n1=e；limx→∞[11(

5、1n)]n=e；4）limx→∞(11x)x=e；limx→0(1x)1x=e；limx→∞(11x)x=1e。limx→0[(ax1)x]=lna。8、無(wú)窮小的比較limβα=m，m=0，β是α的高階無(wú)窮小；m=∞，β是α的低階無(wú)窮?。籱=c≠0，β是α的同階無(wú)窮??；m=1，β是α的等價(jià)無(wú)窮小。limβαk=c≠0，β是α的k階無(wú)窮小。34、可導(dǎo)可導(dǎo)連續(xù)。連續(xù)?？蓪?dǎo)函數(shù)必是連續(xù)的，連續(xù)則不一定可導(dǎo)（折線變化的函數(shù)）。?5、求導(dǎo)法則，①

6、(uv)’=u’v’；(u.v)’=u’.vu.v’；(uv)’=(u’.vu.v’)v2；(cu)’=c.u’。②反函數(shù)求導(dǎo)，[f1(x)]’=1f’(y)；③復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)。6、高階導(dǎo)數(shù)，常用的有(ex)(n)=ex；(sinx)(n)=sin(xn.π2)；(cosx)(n)=cos(xn.π2)；[ln(1x)](n)=[(1)n1(n1)!](1x)n；0!=1；(xn)(n)=n!；(xn)(n1)=0；7、隱函數(shù)求導(dǎo)，注意y

7、是關(guān)于x的函數(shù)y=y(x)，dydx=(FxFy)；ЗzЗx=(FxFz)；ЗzЗy=(FyFz)；參數(shù)函數(shù)求導(dǎo)，x、y對(duì)t求導(dǎo)。8、微分的定義，Δy=f(x0Δx)f(x0)=A.Δx0(Δx)，既dy=A.Δx；9、微分的幾何意義，表示f(x)在切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量。10、微分的運(yùn)算，與導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)。11、微分的中值定理與函數(shù)的性態(tài)1）費(fèi)馬定理，若f(x)在(ab)內(nèi)有一點(diǎn)x0取最值（極值），則f’(x0)=0。2）羅爾定理，若f

8、(x)在[ab]上連續(xù)，在(ab)內(nèi)可導(dǎo)且f(a)=f(b)，則必有一點(diǎn)使f’(ξ)=0。3）拉格拉日中值定理，若f(x)在[ab]上連續(xù)，在(ab)內(nèi)可導(dǎo)，則必有點(diǎn)f’(ξ)=[f(b)f(a)](ba)。4）若在區(qū)間f’(x)=0，則f(x)=C（常數(shù)）。5）柯西中值定理，f(x)、g(x)在[ab]上連續(xù)，在(ab)內(nèi)可導(dǎo)，則至少有一點(diǎn)使得[f(b)f(a)][g(b)g(a)]=f’(ξ)g’(ξ)。12、洛必達(dá)法則，解決00，

9、∞∞型求極限問(wèn)題。limx→a[f(x)g(x)]=limx→a[f’(x)g’(x)]。使用條件是g’(x)≠0，limx→a[f’(x)g’(x)]存在或無(wú)窮大。其他求極限的方法：對(duì)數(shù)極限法，可將00、∞0、1∞轉(zhuǎn)化為0.∞型，從而再變?yōu)?0，∞∞型，利用洛必達(dá)法則求解。“∞∞”型可用通分化商求解。13、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值1）f(x)在[ab]上連續(xù)在(ab)內(nèi)可導(dǎo)則f’(x)＞0f(x)單增；f’(x)＜0f(x)單減。f’(x

10、)=0為駐點(diǎn)。2）f(x)連續(xù)，在除x0點(diǎn)外可導(dǎo)，則可通過(guò)x0左右兩側(cè)f’(x)的符號(hào)判斷x0是極大值、極小值；f’(x)不變號(hào)，則x0不是極值點(diǎn)。極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)；導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)；導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)。點(diǎn)。3）f(x)在x0點(diǎn)二階可導(dǎo)，且f’(x0)=0，f”(x0)≠0，則f”(x0)＜0，x0為極大值；f”(x0)＞0，x0為極小值。極值與最值的區(qū)別：極值用坐標(biāo)點(diǎn)表示，最值是一個(gè)單純的極值與最值的區(qū)