橢圓知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)和經(jīng)典例題

1、橢圓的基本知識(shí)橢圓的基本知識(shí)1橢圓的定義橢圓的定義：把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢21FF21FF圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距(設(shè)為2c).2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（＞＞0）（＞＞0）12222??byaxab12222??bxayab焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，可設(shè)方程為mx2ny2=1(m0，n0)不必考慮焦點(diǎn)位置，求出方程3.求軌跡方程的方法

2、求軌跡方程的方法:定義法、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法、直接法解:(相..21的軌跡中點(diǎn)求線段段軸作垂線向從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)半徑為標(biāo)原點(diǎn)已知一個(gè)圓的圓心為坐如圖例MPPPPxP??關(guān)點(diǎn)法)設(shè)點(diǎn)M(xy)點(diǎn)P(x0y0)則x＝x0y＝得x0＝x，y0＝2y.20y∵x02＋y02＝4得x2＋(2y)2＝4即所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓..142??yx4.范圍范圍.x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b橢圓位于直線x＝a和y＝b圍成的矩形里

3、5.橢圓的對(duì)稱性橢圓的對(duì)稱性橢圓是關(guān)于y軸、x軸、原點(diǎn)都是對(duì)稱的坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心6.頂點(diǎn)頂點(diǎn)只須令x＝0，得y＝b，點(diǎn)B1(0－b)、B2(0b)是橢圓和y軸的兩個(gè)交點(diǎn)；令y＝0，得x＝a，點(diǎn)A1(－a0)、A2(a0)是橢圓和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)：A1(－a0)、A2(a0)、B1(0－b)、B2(0b)橢圓和它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)叫橢圓的頂點(diǎn)線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓

4、的長(zhǎng)軸和短軸.長(zhǎng)軸的長(zhǎng)等于2a.短軸的長(zhǎng)等于2b.a叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)b叫做橢圓的短半軸長(zhǎng)|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a在Rt△OB2F2中，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，即c2＝a2－b27.橢圓的幾何性質(zhì)：橢圓的幾何性質(zhì)：aA1yOF1F2xB2B1A2cbyOF1F2xMccxF2F1OyMccyxPOP?M那么如何來(lái)判斷直線和橢圓的位置關(guān)系呢？將兩方程聯(lián)立得方程組，通過(guò)方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)

5、判斷直線和橢圓交點(diǎn)的情況。方法如下：消去得到關(guān)于的一元二次方程，化簡(jiǎn)后形式如下222201AxByCxyab??????????yx，20(0)mxnxpm????24nmp???（1）當(dāng)時(shí)，方程組有兩組解，故直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)；0??（2）當(dāng)時(shí)，方程組有一解，直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)（相切）；0??（3）當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解，直線和橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)。0??注：當(dāng)直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)其坐標(biāo)為，那么線段的長(zhǎng)度（即1122()()AxyB

6、xyAB弦長(zhǎng)）為，設(shè)直線的斜率為，221212||()()ABxxyy????k可得：，然后我們可通過(guò)求出方程的根或用韋達(dá)221212||()[()]ABxxkxx?????2121||kxx??定理求出。橢圓典型例題橢圓典型例題例1已知橢圓已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為（的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2）求）求的值的值06322???mymxm分析：分析：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由，根據(jù)關(guān)系可求出的值2?c222cba??m解：解：方程變形為因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸

7、上，所以，解得12622??myxy62?m3?m又，所以，適合故2?c2262??m5?m5?m例2已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程??03，Pba3?分析：分析：因橢圓的中心在原點(diǎn)，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法，求出參數(shù)和（或和）的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程ab2a2b解：解：當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為x??012222????babyax由橢圓