論文-橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式的四種推導(dǎo)方法及其應(yīng)用

1、橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式的四種推導(dǎo)方法及其應(yīng)用橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式的四種推導(dǎo)方法及其應(yīng)用江西省上猶中學(xué)江西省上猶中學(xué)劉鵬劉鵬關(guān)鍵詞：橢圓關(guān)鍵詞：橢圓焦點(diǎn)弦焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)公式弦長(zhǎng)公式應(yīng)用應(yīng)用摘要摘要：直線(xiàn)與橢圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，可以用萬(wàn)能的弦長(zhǎng)公式解決即212=1ABkxx??或者，而有一種特殊的弦是過(guò)焦點(diǎn)的弦，它的弦長(zhǎng)有專(zhuān)門(mén)的公式：2112=1()kAByy?，如果記住公式，可以給我們解題帶來(lái)方便.22222cosabABac???下面我們用萬(wàn)能弦

2、長(zhǎng)公式，余弦定理，焦半徑公式，仿射性四種方法來(lái)推導(dǎo)橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，這幾種方法涉及到很多思想，最后舉例說(shuō)明其應(yīng)用.解法一解法一：根據(jù)弦長(zhǎng)公式直接帶入解決.題：設(shè)橢圓方程為，左右焦點(diǎn)分別為，直線(xiàn)l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)交12222??byax12(0)(0)FcFc?2F橢圓于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).1122()()AxyBxyAB橢圓方程可化為……①，12222??byax0222222???bayaxb直線(xiàn)l過(guò)右焦點(diǎn)，則可以假設(shè)直線(xiàn)為：(斜率不存在即

3、為時(shí))，代入①得：xmyc??0m?，整理得，222222222()20bmaymcbybcab?????222224()20bmaymcbyb????∴，2412122222222mcbbyyyybmabma???????∴2424222221122222222222244(1)=1()1()1()kmcbbabmAByymmbmabmabma???????????∴??2222221abABmbma???（1）若直線(xiàn)l的傾斜角為，且

4、不為則，則有：?90?1tanm????2222222222221111tantanababABmbmaba??????????????解：由解法一知.由橢22212121222222222=()22mcbacxxmycmycmyyccbmabma?????????????圓的第二定義可得焦半徑公式，那么2122FAaexFBaex????故222221212222222222(1)=2()abmababmABaexaexaexxbma

5、bma????????????后面分析同解法一.解法四解法四：利用仿射性解決題：設(shè)橢圓方程為，左右焦點(diǎn)分別為，直線(xiàn)l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)交12222??byax12(0)(0)FcFc?2F橢圓于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).1122()()AxyBxyAB解：利用仿射性，可做如下變換，則原橢圓變?yōu)?，這是一個(gè)以原點(diǎn)為圓xxayyb???????222()()xya??心，為半徑的圓.假設(shè)原直線(xiàn)的斜率為，則變換后斜率為.橢圓中弦長(zhǎng)akakb212=1ABkxx