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文檔簡介
1、1.1已知高斯隨機變量已知高斯隨機變量X的概率密度的概率密度，求它的數學期望和方差。，求它的數學期望和方差。22()21()2xmfxe??????解：根據數學期望與方差定義：22()21()()2xmExxfxdxxedx???????????????令，，代入上式并整理xmt???dxdt??2222()02222ttmmExtedtedtm?????????????????????22()222()()()()2xmxmDxxmf
2、xdxedx?????????????????與前面以一樣同樣變換，即令，整理后xmt???222202()2tDxtedt??????查數學手冊的積分表，可得：221013(21)2naxnnnxedxaa???????AAAA令及，利用上式的積分結果，可得1n?12a?2222()22Dx??????可見高斯變量的概率密度分布由它的數學期望和方差唯一決定。1.2隨即變量隨即變量，其中，其中為隨機變量，為隨機變量，、為常數且為常數且0
3、，求，求與的相關的相關YaXb??XabaXY系數解：根據數學期望的定義，若，則()XEXm?()()XYEYEXbambm?????先求協(xié)方差，再求相關系數??????????()()()()()XYXYCEXEXYEYxEXyEYfxydxdy??????????????將，代入，并由概率密度性質，消去，得到YaXb??YXmamb??y222()[()]()()XYXXYXXXCaxmfxydydxaxmfxdxa????????
4、??????????同理，將，代入，并由概率密度性質，消去則有()XYba??()XYmmba??x22211()[()]()()YXYYXYYYCymfxydxdyymfydyaaa??????????????????有前兩式聯立，解得，222YXa???XYXYC???這就是兩個隨機變量之和的概率密度。1.9隨機變量隨機變量，為相互獨立的高斯變量，數學期望為零，方差為為相互獨立的高斯變量，數學期望為零，方差為1。求的。求的1X2X概
5、率密度。12YXX??解：已知數學期望為零、方差為1的高斯變量概率密度為221()2xXfxe???先根據定義求，的特征函數1X2X2112()()wjwxXXwfxedxe????????222()wXwe???由特征函數的性質，212()()()wYXXwwwe??????則可求得的概率密度：Y224111()()222yjwywjwyYYfywedweedwe???????????????????1.11求兩個數學期望和方差不同且
6、相互獨立的高斯變量求兩個數學期望和方差不同且相互獨立的高斯變量，之和的概率密度。之和的概率密度。1X2X解：設，可得兩個相互獨立的隨機變量之和的概率密度為12YXX??12111()()()YXXfyfxfyxdx??????將，的概率密度代入上式1X2X2211122221211()()22211121211()22xmyxmAxBxCYfyeedxedx??????????????????????????利用歐拉積分??221222
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