實變函數(shù)論習(xí)題選解全

1、1《實變函數(shù)論》習(xí)題選解《實變函數(shù)論》習(xí)題選解一、集合與基數(shù)一、集合與基數(shù)1.1.證明集合關(guān)系式：（1）；)()()()(BDCADCBA???????（2）；)()()()(DBCADCBA???????（3）；CBACBA?)()(????（4）問成立的充要條件是什么？)()(CBACBA?????證（1）∵，（對偶律），cBABA???cccBABA???)(（交對并的分配律），)()()(CABACBA??????∴)()()(

2、)()()(DCBADCBADCBAccccc???????????、、、、、、、.)()()()()()(BDCADBCADBACBAccccc??????????????、、、、、、（2）)()()()()()(ccccDBCADCBADCBA???????????、、、、、、.)()()()(DBCADBCAc????????、、、、、、、（3）)()()()()(CABACBACBACBAcccc????????????、、、.

3、CBACBAc???)()(???（4）.ACCBACBA??????)()(?證必要性必要性（左推右，用反證法）：若，則但，從而，，于是AC?Cx??Ax?D?)(DAx??)(CBAx???；但，從而左邊不等式不成立，矛盾！CBAx?)(??充分性充分性（右推左，顯然）：事實上，∵，∴，如圖所示：AC?CCA??故.)()(CBACBA?????2.2.設(shè)，試證一切排列10?AAaaaann?)(21??所成之集的勢（基數(shù)）為.c證

4、記為所有排列所成之集，對任一排列10)(21????AaaaaaEnn??，令，特別，10)(21???Aaaaaann????naaaaf21.0)(?，，]10[0000.0)0(?????f]10[1111.0)1(?????f3解若，，令則就是??21AA???21BB???????)()()(2211AxxfAxxfxf)(xf21AA?到的一一對應(yīng).21BB?若，，則與之間不一定存在一一對應(yīng).例如：21AA?21BB?12A

5、A?12BB?，2143322211??????nBAnBnA????，，)32(1:1????nnnf)21(:2???nnnf則是到的一一對應(yīng)，是到的一一對應(yīng).1f1A1B2f2A2B但，顯然與之間不存在任何一一對應(yīng).2111212????BBAA12AA?12BB?②幾個常見的一一對應(yīng)：（?。?；)(baR??)(tan)(2baxxfabax????????～，；)10(R)10(1)(2???xxxxf（ⅱ）～，將中的有理數(shù)

6、排列為，而中的有理)10(]10[)10(??21nrrr]10[數(shù)排列為.作其間的對應(yīng)如下：??1021nrrrf則是與間的一一對應(yīng).?????????????、、、、、、、、、、、)10()2(10)(221xxnrxrrxrxxfnn)(xf)10(]10[注意注意這種一定不是連續(xù)的（為什么？）.)(xf（ⅲ）～，.NN?N??NN?????)()12(2)(1jijjifi這是因為任一自然數(shù)均可唯一表示為（非負(fù)整數(shù)，正奇數(shù)），而