一階系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)

1、3.2 一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng),一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)線性定常系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性質(zhì),3.2.1 一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（1）,定義能用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。系統(tǒng)傳遞函數(shù)中分母多項(xiàng)式中s的最高冪數(shù)為1的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)的典型形式是慣性環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)模型一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的一般形式為

2、 ，式中K為放大系數(shù)，T為時(shí)間常數(shù)。,3.2.1 一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）,系統(tǒng)框圖當(dāng)K=1時(shí)，典型一階系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖及化簡(jiǎn)形式如圖所示。,3.2.2 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),給一階系統(tǒng)輸入單位階躍信號(hào)，根據(jù)一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，計(jì)算其拉氏反變換，求出微分方程的解c(t)，即為一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。其實(shí)質(zhì)就是根據(jù)已知條件（單位階躍信號(hào)），利用傳遞函數(shù)和拉氏反變換，求出輸出信號(hào)c(t)。

3、 因?yàn)檩斎胄盘?hào)是單位階躍信號(hào)，所以 又因?yàn)?所以，輸出信號(hào)的拉氏變換為 查拉氏變換對(duì)照表得 此即為一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。式中T稱為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，具有時(shí)間量綱，是一階系統(tǒng)的重要特征參數(shù)，表征了系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的品質(zhì)，T越小，系統(tǒng)響應(yīng)越快。,一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線,結(jié)論一階慣性系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，無(wú)振蕩。時(shí)間常數(shù)T可以定義為系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的

4、63.2％所需的時(shí)間。反之，可以用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)出響應(yīng)曲線達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的63.2％高度時(shí)所需時(shí)間，即為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T。經(jīng)過(guò)時(shí)間3T~4T，響應(yīng)曲線已達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95 ％ ~98 ％，可認(rèn)為其調(diào)整過(guò)程已經(jīng)完成，故一般取調(diào)整時(shí)間ts=(3~4)T。在t=0時(shí)，響應(yīng)曲線的切線斜率為1/T。時(shí)間常數(shù)決定于系統(tǒng)參數(shù)，與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。,3.2.3 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng),因?yàn)檩斎胄盘?hào)是單位斜坡函數(shù)，所以 又因?yàn)?

5、所以，輸出信號(hào)的拉氏變換為 查拉氏變換對(duì)照表得一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)為,一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線,如圖所示，該響應(yīng)系統(tǒng)存在誤差信號(hào)e(t)，誤差信號(hào) 當(dāng)t→∞時(shí)， ，此時(shí)e(t)=T。 所以可得以下結(jié)論：當(dāng)t足夠大時(shí)，一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號(hào)輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為時(shí)間常數(shù)T；時(shí)間常數(shù)T越小，該環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)誤差越小。,3.2.4 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),因?yàn)檩斎胄盘?hào)是單位

6、脈沖信號(hào)，所以 又 所以 對(duì)其進(jìn)行拉氏反變換得一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 其時(shí)間響應(yīng)曲線如右圖所示。,3.2.5 線性定常系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性質(zhì)（1）,單位階躍函數(shù)的定義為 單位脈沖函數(shù)的定義為 單位斜坡函數(shù)的定義為,現(xiàn)在對(duì)單位斜坡函數(shù)求導(dǎo)，得 即單位階躍函數(shù)是單位斜坡函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 對(duì)單位階躍函數(shù)求導(dǎo)，得

7、 即單位脈沖函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。,現(xiàn)在分析三個(gè)典型輸入信號(hào)的時(shí)間響應(yīng)。一階單位斜坡信號(hào)的時(shí)間響應(yīng)為一階單位階躍信號(hào)的時(shí)間響應(yīng)為 一階單位脈沖信號(hào)的時(shí)間響應(yīng)為,顯然， 即單位階躍響應(yīng)是單位斜坡響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，單位脈沖響應(yīng)是單位階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。,3.2.5 線性定常系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性質(zhì)（2）,由此可得出以下結(jié)論（線性定常系統(tǒng)重要特征）：系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，可通過(guò)把系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)響應(yīng)求導(dǎo)得出