希爾伯特23個(gè)數(shù)學(xué)問題_第1頁
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1、希爾伯特希爾伯特2323個(gè)數(shù)學(xué)問題個(gè)數(shù)學(xué)問題希爾伯特23個(gè)數(shù)學(xué)問題——在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家代表大會(huì)上,希爾伯特發(fā)表了題為《數(shù)學(xué)問題》的著名講演。他根據(jù)過去特別是十九世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢(shì),提出了23個(gè)最重要的數(shù)學(xué)問題。這23個(gè)問題通稱希爾伯特問題,后來成為許多數(shù)學(xué)家力圖攻克的難關(guān),對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響,并起了積極的推動(dòng)作用,希爾伯特問題中有些現(xiàn)已得到圓滿解決,有些至今仍未解決。他在講演中所闡發(fā)的想信每個(gè)數(shù)學(xué)

2、問題都可以解決的信念,對(duì)于數(shù)學(xué)工作者是一種巨大的鼓舞。希爾伯特的23個(gè)問題分屬四大塊:第1到第6問題是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題;第7到第12問題是數(shù)論問題;第13到第18問題屬于代數(shù)和幾何問題;第19到第23問題屬于數(shù)學(xué)分析。(1)康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問題。1874年,康托猜測(cè)在可數(shù)集基數(shù)和實(shí)數(shù)集基數(shù)之間沒有別的基數(shù),即著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1938年,僑居美國的奧地利數(shù)理邏輯學(xué)家哥德爾證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF集合論公理系統(tǒng)的無矛盾性。1963年,美國數(shù)學(xué)家科

3、思(P.Choen)證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF公理彼此獨(dú)立。因而,連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能用ZF公理加以證明。在這個(gè)意義下,問題已獲解決。(2)算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性。歐氏幾何的無矛盾性可以歸結(jié)為算術(shù)公理的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計(jì)劃的證明論方法加以證明,哥德爾1931年發(fā)表不完備性定理作出否定。根茨(G.Gentaen,19091945)1936年使用超限歸納法證明了算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性。(Siegel)1935年分別獨(dú)立地證明了其正確性

4、。但超越數(shù)理論還遠(yuǎn)未完成。目前,確定所給的數(shù)是否超越數(shù),尚無統(tǒng)一的方法。(8)素?cái)?shù)分布問題,尤其對(duì)黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問題。素?cái)?shù)是一個(gè)很古老的研究領(lǐng)域。希爾伯特在此提到黎曼(Riemann)猜想、哥德巴赫(Goldbach)猜想以及孿生素?cái)?shù)問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素?cái)?shù)問題目前也未最終解決,其最佳結(jié)果均屬中國數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)。(9)一般互反律在任意數(shù)域中的證明。1921年由日本的高木貞治,1927年由德國的阿廷

5、(E.Artin)各自給以基本解決。而類域理論至今還在發(fā)展之中。(10)能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數(shù)解?求出一個(gè)整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根,稱為丟番圖(約210290,古希臘數(shù)學(xué)家)方程可解。1950年前后,美國數(shù)學(xué)家戴維斯(Davis)、普特南(Putnan)、羅賓遜(Robinson)等取得關(guān)鍵性突破。1970年,巴克爾(Baker)、費(fèi)羅斯(Philos)對(duì)含兩個(gè)未知數(shù)的方程取得肯定結(jié)論。1970年。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬蒂塞維

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