可分解的高次不等式的解法

1、1可分解的高次不等式的解法可分解的高次不等式的解法浙江省諸暨市學(xué)勉中學(xué)（311811）郭天平解不等式是初等數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，高中數(shù)學(xué)常出現(xiàn)高次不等式，通常解法是化為不等式組或者用列表法或者用數(shù)軸標(biāo)根法求解。本文通過不同解法的比較，來說明“數(shù)軸標(biāo)根法”在求解一類可分解的高次不等式獨(dú)特之處。例1解不等式??????0423????xxx解法一：解法一：原不等式可化為或????????????04203xxx????????????04203

2、xxx即或，即或???????423xxx或???????423xx23???x4?x∴原不等式的解集為??423|????xxx或【評(píng)注評(píng)注】此種方法的本質(zhì)是分類討論，強(qiáng)化了“或”與“且”，進(jìn)一步滲透了“交”與“并”的思想方法。解法二：解法二：不等式（或方程）有三個(gè)零點(diǎn)，3，2，4，先在數(shù)軸上標(biāo)出零點(diǎn)，這些零點(diǎn)把數(shù)軸分成了若干個(gè)區(qū)間。針對(duì)這些區(qū)間，逐一討論各因式的符號(hào)，情況列表如下：因子??3?x??2?x??4?x??????423

3、???xxx當(dāng)時(shí)4?x當(dāng)時(shí)42??x當(dāng)時(shí)23???x當(dāng)時(shí)3??x從上表可看出的解集為??????0423????xxx??423|????xxx或解法三：解法三：先在數(shù)軸上標(biāo)出零點(diǎn)（標(biāo)出根）。根標(biāo)出來后，不是分區(qū)間進(jìn)行驗(yàn)證討論，而是直接標(biāo)出綜合因式的正負(fù)??????423???xxx號(hào)（如上圖），再根據(jù)題目要求，直接寫出解集為??423|????xxx或【評(píng)注評(píng)注】這種方法常稱為是“數(shù)軸標(biāo)根法”，有些書上稱為是“串針引線法”。這種342

4、x————432x3解析解析先將原不等式等價(jià)化為不等式且??????032432?????xxxxx，203????xxx即且，用“數(shù)軸標(biāo)根法”????????04132?????xxxxx203????xxx01342x∴原不等式的解是??????42013??????【評(píng)注評(píng)注】在不等式時(shí)我們應(yīng)該考慮不等式左式的定義域，也就是在標(biāo)根時(shí)要注意根的取舍，否則會(huì)產(chǎn)生增根或失根的誤解.例4解關(guān)于的不等式：.x????0122????axxx

5、解析解析此不等式是含參數(shù)的高次不等式，是不等式對(duì)應(yīng)方程的其中一根，但aax??對(duì)它的位置我們無法確定，因此要對(duì)的所處位置進(jìn)行討論a①將二次項(xiàng)系數(shù)化“”并分解為：；??????034????axxx②相應(yīng)方程的根為：；a??43③討論：?。┊?dāng)，即時(shí)，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：4??a4??a∴原不等式的解集為.????????43a?ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：43????a34???a∴原不等式的解集為???????