高等數(shù)學(xué)訓(xùn)練之?dāng)?shù)項(xiàng)數(shù)

1、1第六講數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法1柯西判別法及其推廣比較原理適用于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，高等數(shù)學(xué)中講過正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較原理：比較原理比較原理：設(shè)，都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，存在，使I1nnu???1nnv???0c?(123...)nnucvn??（i）若收斂，則也收斂；（ii）若發(fā)散，則也發(fā)散1nnv???1nnu???1nnu???1nnv???比較原理比較原理（極限形式）（極限形式）設(shè)，均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若II1nnu???1nnv???lim(0)nnnulv

2、??????則、同斂散1nnu???1nnv???根據(jù)比較原理，可以利用已知其斂散性的級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象來判別其它級(jí)數(shù)的斂散性柯西判別法和達(dá)朗貝爾判別法是以幾何級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象而得到的審斂法下面用比較判別法推出更寬泛的柯西柯西判別法定理定理1（柯西判別法（柯西判別法1）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，1nnu???（i）若從某一項(xiàng)起（即存在，當(dāng)時(shí)）有（為常數(shù)），NnN?1nnuq??q則收斂；1nnu???（ii）若從某項(xiàng)起，，則發(fā)散1nnu?1nnu??

3、?證（i）若當(dāng)時(shí)，有，即，而級(jí)數(shù)收斂，nN?1nnuq??nnuq?1nnq???根據(jù)比較原理知級(jí)數(shù)也收斂I1nnu???（ii）若從某項(xiàng)起，，則，故，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知1nnu?1nu?lim0nnu???3是否收斂？并說明理由111nnna??????????解答案：級(jí)數(shù)收斂，證明如下：111nnna??????????由于單調(diào)減少且根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則知極限存在設(shè)則??na0na?limnna??limnnaa???0a?如果則由

4、萊布尼茲判別法知收斂，這與發(fā)散矛盾，故0a?1(1)nnna????1(1)nnna????再由單調(diào)減少，故取，0a???na0naa??111qa???110111nnnuqaa???????根據(jù)柯西判別法1知收斂111nnna??????????下面介紹柯西判別法的兩個(gè)推廣，稱它們?yōu)閺V義柯西判別法廣義柯西判別法定理定理3（廣義柯西判別法（廣義柯西判別法1）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果它的通項(xiàng)的1nnu???nu次根的極限等于，即則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收

5、斂；當(dāng)??0anba??rlimanbnnur????1r?1r?時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散1r?證因?yàn)?，即?duì)任給正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有l(wèi)imanbnnur?????1N1nN?（1）????anbnrur???????對(duì)于任給常數(shù)，總存在，當(dāng)有時(shí)有b2N2nN?（2）0anb??取，當(dāng)時(shí)，式（1）和式（2）同時(shí)成立??12maxNNN?nN?當(dāng)時(shí)，取足夠小，使由上述討論，存在，當(dāng)時(shí)，式1r??1rq????NnN?（1