高等數學訓練之數項數

1、1第六講數項級數的斂散性判別法1柯西判別法及其推廣比較原理適用于正項級數，高等數學中講過正項級數的比較原理：比較原理比較原理：設，都是正項級數，存在，使I1nnu???1nnv???0c?(123...)nnucvn??（i）若收斂，則也收斂；（ii）若發(fā)散，則也發(fā)散1nnv???1nnu???1nnu???1nnv???比較原理比較原理（極限形式）（極限形式）設，均為正項級數，若II1nnu???1nnv???lim(0)nnnulv

2、??????則、同斂散1nnu???1nnv???根據比較原理，可以利用已知其斂散性的級數作為比較對象來判別其它級數的斂散性柯西判別法和達朗貝爾判別法是以幾何級數作為比較對象而得到的審斂法下面用比較判別法推出更寬泛的柯西柯西判別法定理定理1（柯西判別法（柯西判別法1）設為正項級數，1nnu???（i）若從某一項起（即存在，當時）有（為常數），NnN?1nnuq??q則收斂；1nnu???（ii）若從某項起，，則發(fā)散1nnu?1nnu??

3、?證（i）若當時，有，即，而級數收斂，nN?1nnuq??nnuq?1nnq???根據比較原理知級數也收斂I1nnu???（ii）若從某項起，，則，故，由級數收斂的必要條件知1nnu?1nu?lim0nnu???3是否收斂？并說明理由111nnna??????????解答案：級數收斂，證明如下：111nnna??????????由于單調減少且根據單調有界準則知極限存在設則??na0na?limnna??limnnaa???0a?如果則由

4、萊布尼茲判別法知收斂，這與發(fā)散矛盾，故0a?1(1)nnna????1(1)nnna????再由單調減少，故取，0a???na0naa??111qa???110111nnnuqaa???????根據柯西判別法1知收斂111nnna??????????下面介紹柯西判別法的兩個推廣，稱它們?yōu)閺V義柯西判別法廣義柯西判別法定理定理3（廣義柯西判別法（廣義柯西判別法1）設為正項級數，如果它的通項的1nnu???nu次根的極限等于，即則當時，級數收

5、斂；當??0anba??rlimanbnnur????1r?1r?時，級數發(fā)散；當級數可能收斂也可能發(fā)散1r?證因為，即對任給正數，存在正整數，當時，有l(wèi)imanbnnur?????1N1nN?（1）????anbnrur???????對于任給常數，總存在，當有時有b2N2nN?（2）0anb??取，當時，式（1）和式（2）同時成立??12maxNNN?nN?當時，取足夠小，使由上述討論，存在，當時，式1r??1rq????NnN?（1