二自由度系統(tǒng)振動(dòng)1

1、第三章 二自由度系統(tǒng)振動(dòng),振動(dòng)與噪聲控制實(shí)驗(yàn)室,董明明,(1),概論,大量振動(dòng)系統(tǒng)需要簡(jiǎn)化成多自由度系統(tǒng)才能反映實(shí)際問(wèn)題的物理本質(zhì)。 舉例：汽車的單自由度、二自由度、四自由度、七自由度模型與單自由度系統(tǒng)比較，多自由度系統(tǒng)具有一些本質(zhì)上的新概念，需要新的分析方法。二自由度系統(tǒng)是多自由度系統(tǒng)最簡(jiǎn)單的特例。從二自由度系統(tǒng)到多自由度系統(tǒng)，主要是量的擴(kuò)充，在問(wèn)題的表述、求解方法、振動(dòng)性態(tài)上沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別。數(shù)學(xué)工具：線性代數(shù)

2、、矩陣?yán)碚?車輛懸架,車輛懸架結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖,車輛懸架結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖,1、 二自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的矩陣 表示形式；2、 系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能和能量耗散函數(shù)的矩 陣表示形式；3、 運(yùn)動(dòng)微分方程的耦合問(wèn)題。,本節(jié)講三個(gè)問(wèn)題：,二自由度系統(tǒng)簡(jiǎn)圖,下面是一個(gè)典型的二自由度彈簧阻尼質(zhì)量系統(tǒng)簡(jiǎn)圖,取 靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為兩個(gè)坐標(biāo)的正向，根據(jù)牛頓第二定律得到,,,,,整理,得,,運(yùn)動(dòng)微分方程建立,在多自

3、由度系統(tǒng)振動(dòng)理論中，廣泛使用矩陣記號(hào) (寫為矩陣形式),,其中定義,,,,質(zhì)量矩陣,阻尼矩陣,剛度矩陣,矩陣形式的改寫,,矩陣形式的運(yùn)動(dòng)微分方程,,,定義：,運(yùn)動(dòng)微分方程的矩陣形式,和單自由度微分方程的關(guān)系,單自由度系統(tǒng)如果將 看作一維矩陣， 看作一維向量，則單自由度和多自由度微分方程具有相同的形式。,系統(tǒng)動(dòng)能的矩陣表達(dá)形式,系統(tǒng)的動(dòng)能為,,質(zhì)量矩陣的二次

4、型,系統(tǒng)勢(shì)能的矩陣表達(dá)形式,剛度矩陣的二次型,系統(tǒng)能量耗散函數(shù)的矩陣表達(dá)形式,阻尼矩陣的二次型,通過(guò)對(duì)以上三個(gè)函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，可以分別求出三個(gè)矩陣的各個(gè)元素,,多自由度系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，剛度矩陣和阻尼矩陣是對(duì)稱矩陣,質(zhì)量，剛度和阻尼矩陣的確定,（二階混合偏導(dǎo)數(shù)在什么條件下與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān)？）,1 .寫出系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能和能耗散函數(shù)的表達(dá)式2. 對(duì)這三個(gè)函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，從而得到質(zhì)量，剛 度和阻尼矩陣的各個(gè)元素3. 寫出矩陣

5、形式的運(yùn)動(dòng)微分方程。,微分方程的構(gòu)造步驟,由于能量為標(biāo)量，對(duì)于任意的 ,,，,,質(zhì)量矩陣一定是正定的；剛度矩陣和阻尼矩陣是半正定的,質(zhì)量，剛度和阻尼矩陣的性質(zhì),三、運(yùn)動(dòng)微分方程的耦合問(wèn)題,由于 的存在，使得兩個(gè)質(zhì)量 的振動(dòng)相互影響,使剛度矩陣和阻尼矩陣成為非對(duì)角矩陣，微分方程存在耦合,,,,耦合的分類,如果質(zhì)量矩陣是非對(duì)角矩陣，稱方程存在 慣性耦合如果剛度矩陣是非對(duì)角矩陣，稱方程存

6、在 彈性耦合如果阻尼矩陣是非對(duì)角矩陣，稱方程存在 阻尼耦合,非耦合,如果三個(gè)矩陣都是對(duì)角矩陣，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程沒(méi)有任何耦合，變?yōu)閮蓚€(gè)獨(dú)立的單自由度方程，各個(gè)未知量可以單獨(dú)求解,,,則微分方程組變成兩個(gè)獨(dú)立的微分方程,對(duì)于本例，如果,解耦,如何消除方程的耦合是（手工）求解多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的關(guān)鍵，從數(shù)學(xué)上講，就是使三個(gè)矩陣同時(shí)成為對(duì)角矩陣。,不同坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)微分方程,下面通過(guò)實(shí)例說(shuō)明：方程是否存在耦合以及存在什么類

7、型的耦合取決于所取的描述系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，并不是系統(tǒng)本身的性質(zhì)。,汽車的二自由度振動(dòng)模型,汽車板簧以上部分被簡(jiǎn)化為一剛性桿，質(zhì)心 C，質(zhì)量 m。繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ic ，k1, k2為前后板簧剛度，忽略了減振器阻尼和干摩擦等其他形式的阻尼，不計(jì)板簧以下部分的質(zhì)量和剛度。,,,,上式中用到了四個(gè)廣義坐標(biāo) ，而二自由度系統(tǒng)只需用兩個(gè)獨(dú)立廣義坐標(biāo)描述，因此這四個(gè)廣義坐標(biāo)并不是彼此獨(dú)立的，而且有一定變換關(guān)系,,,、、、,動(dòng)能和勢(shì)能

8、表達(dá)式,不同廣義坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)微分方程。,⑴ 、 ，,,勢(shì)能,,由于,則,在 和 下的運(yùn)動(dòng)微分方程為,方程存在：慣性耦合 彈性耦合,,由于可以解出稱 為由 到 的變換矩陣,,,,,,取廣義坐標(biāo)為 和,系統(tǒng)的動(dòng)能,,,系統(tǒng)的勢(shì)能,運(yùn)動(dòng)微分方程,,耦合情況,當(dāng) 時(shí)，存在彈性耦合若 ，則剛度矩陣成為對(duì)角矩陣，方程已

9、經(jīng)解耦，變?yōu)閮蓚€(gè)彼此獨(dú)立的單自由度方程， 和 獨(dú)立微分方程,取廣義坐標(biāo)為,則yC和θ可以表示為：變換矩陣,動(dòng)能和勢(shì)能的表達(dá)式,當(dāng) 時(shí)，方程存在慣性耦合，當(dāng) ，A點(diǎn)和B點(diǎn)振動(dòng)相互獨(dú)立，對(duì)于汽車來(lái)說(shuō)，就是前懸和后懸振動(dòng)相互獨(dú)立。在汽車?yán)碚撝?，定義為質(zhì)量分配系數(shù)當(dāng) 時(shí)，汽車前懸和后懸振動(dòng)相互獨(dú)立，可以分別討論它們的振動(dòng)。,耦

10、合情況,結(jié)論,結(jié)論：耦合的方式（彈性耦合還是慣性耦合）是依選取的坐標(biāo)而定的，而坐標(biāo)選取是研究者的主觀抉擇，并非系統(tǒng)的本質(zhì)特性。從這個(gè)意義上講，這里我們應(yīng)該說(shuō)“坐標(biāo)的耦合方式”或“運(yùn)動(dòng)方程的耦合方式”，而不應(yīng)該說(shuō)“系統(tǒng)的耦合方式”。,廣義坐標(biāo) 和 的變換關(guān)系為由于勢(shì)能和廣義坐標(biāo)選取無(wú)關(guān)：從而：,,,不同廣義坐標(biāo)系下的質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣的關(guān)系,不同廣義坐標(biāo)系下的質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣的關(guān)系,結(jié)論：從上例我們看到，系統(tǒng)的質(zhì)量

11、矩陣、剛度矩陣（當(dāng)然也包括阻尼矩陣）的具體形式與所選取的廣義坐標(biāo)有關(guān)，合適的廣義坐標(biāo)能夠解除方程的耦合，由于不同廣義坐標(biāo)之間存在著變換關(guān)系，所以，方程解耦的就歸結(jié)為尋找一個(gè)合適的變換矩陣 ，使變換后的系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣同時(shí)成為對(duì)角矩陣。,線性代數(shù)知識(shí)的復(fù)習(xí),特征值與特征向量矩陣的相似實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì),特征值與特征向量,設(shè) 是n階矩陣，如果存在數(shù) 和非零向量

12、 ，使得則稱 為A的特征值，X為A的對(duì)應(yīng)于 的特征向量,矩陣的相似,設(shè)A，B是兩個(gè)n階矩陣，如果存在n階矩陣P，使得：B=P-1AP，則稱，A相似于B，P稱為A到B的相似變換矩陣。相似矩陣具有相同的特征值,實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量,實(shí)對(duì)稱矩陣：如果矩陣A的元素a(i,j)，都是實(shí)數(shù)，而且滿足a(i,j)= a(j, i)，則稱矩陣A為實(shí)對(duì)稱矩陣。實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值的特征向量是