單自由度系統(tǒng)受迫振動

1、單自由度系統(tǒng)受迫振動,教學(xué)內(nèi)容,,單自由度系統(tǒng)受迫振動,線性系統(tǒng)的受迫振動工程中的受迫振動問題任意周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng),線性系統(tǒng)的受迫振動,簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性 受迫振動的過渡階段 簡諧慣性力激勵的受迫振動 機(jī)械阻抗與導(dǎo)納,單自由度系統(tǒng)受迫振動,線性系統(tǒng)的受迫振動,簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動,彈簧－質(zhì)量系統(tǒng),設(shè),外力幅值,外力的激勵頻率,振動微分方程：,x 為復(fù)數(shù)變量，分別與

2、和 相對應(yīng),實部和虛部分別與 和 相對應(yīng),單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動,受力分析,,振動微分方程：,顯含時間 t非齊次微分方程,非齊次微分方程通解,齊次微分方程通解,非齊次微分方程特解,＝,＋,,阻尼自由振動逐漸衰減暫態(tài)響應(yīng),持續(xù)等幅振動穩(wěn)態(tài)響應(yīng)本節(jié)內(nèi)容,,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動,振動微分方程：,設(shè)：,,

3、,代入，有：,,復(fù)頻響應(yīng)函數(shù),振動微分方程：,,,,,引入：,,,,,振幅放大因子,相位差,則：,：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)振幅,靜變形,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的實振幅,若：,則：,無阻尼情況：,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動,,,,,,（1）線性系統(tǒng)對簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是頻率等同于激振頻率、而相位滯后激振力的簡諧振動,（2）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅及相位只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（m, k, c）和激振力的

4、頻率及力幅，而與系統(tǒng)進(jìn)入運動的方式（即初始條件）無關(guān),結(jié)論：,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動,線性系統(tǒng)的受迫振動,簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性 受迫振動的過渡階段 簡諧慣性力激勵的受迫振動 機(jī)械阻抗與導(dǎo)納,單自由度系統(tǒng)受迫振動,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,以s為橫坐標(biāo)畫出 曲線,幅頻特性曲線,簡諧激勵作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性：,（1）當(dāng)s<<1（ ）,激振頻率相對于系統(tǒng)固有

5、頻率很低,結(jié)論：響應(yīng)的振幅 A 與靜位移 B 相當(dāng),單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,（2）當(dāng)s>>1（ ）,激振頻率相對于系統(tǒng)固有頻率很高,結(jié)論：響應(yīng)的振幅很小,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,（3）在以上兩個領(lǐng)域 s>>1，s<<1,結(jié)論：系統(tǒng)即使按無阻尼情況考慮也是可以的,對應(yīng)于不同 值，曲線

6、較為密集，說明阻尼的影響不顯著,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,結(jié)論：共振 振幅無窮大,,（4）當(dāng),,,對應(yīng)于較小 值， 迅速增大,當(dāng),,,但共振對于來自阻尼的影響很敏感，在 s=1 附近的區(qū)域內(nèi)，增加阻尼使振幅明顯下降,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,,（5）對于有阻尼系統(tǒng)， 并不出現(xiàn)在s=1處，而且稍偏左,,,,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的

7、特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,（6）當(dāng),振幅無極值,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,記：,品質(zhì)因子,在共振峰的兩側(cè)取與 對應(yīng)的兩點 ，,帶寬,Q與 有關(guān)系 ：,阻尼越弱，Q越大，帶寬越窄，共振峰越陡峭,,,,,,,,,,,,,,,,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,,相頻特性曲線,,（1）當(dāng)s<<1（ ）,以s

8、為橫坐標(biāo)畫出 曲線,,相位差,位移與激振力在相位上幾乎相同,（2）當(dāng)s>>1（ ）,,位移與激振力反相,（3）當(dāng),共振時的相位差為 ，與阻尼無關(guān),單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,有阻尼單自由度系統(tǒng),外部作用力規(guī)律：,假設(shè)系統(tǒng)固有頻率：,從左到右：,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,線性系統(tǒng)的受迫振動,簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性 受迫振動的過渡階段

9、簡諧慣性力激勵的受迫振動 機(jī)械阻抗與導(dǎo)納,單自由度系統(tǒng)受迫振動,受迫振動的過渡階段,在系統(tǒng)受到激勵開始振動的初始階段，其自由振動伴隨受迫振動同時發(fā)生。系統(tǒng)的響應(yīng)是暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的疊加,顯含 t，非齊次微分方程,非齊次微分方程通解,齊次微分方程通解,非齊次微分方程特解,＝,＋,,阻尼自由振動逐漸衰減暫態(tài)響應(yīng),持續(xù)等幅振動穩(wěn)態(tài)響應(yīng),,回顧：,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,受迫振動的過渡階段,考慮無阻尼的情況

10、,正弦激勵,通解：,,,齊次通解,非齊次特解,初始條件決定,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,,,,,,,初始條件響應(yīng),自由伴隨振動,強(qiáng)迫響應(yīng),特點：以系統(tǒng)固有頻率為振動頻率,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,,,,初始條件響應(yīng),自由伴隨振動,強(qiáng)迫響應(yīng),如果初始條件為零，則,,,自由伴隨振動,強(qiáng)迫響應(yīng),單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,初始條件為零時,(2) s > 1,(1) s &l

11、t; 1,穩(wěn)態(tài)受迫振動進(jìn)行一個循環(huán)時間內(nèi)，自由伴隨振動完成多個循環(huán),自由伴隨振動進(jìn)行一個循環(huán)時間內(nèi)，穩(wěn)態(tài)受迫振動完成多個循環(huán),受迫振動響應(yīng)成為自由振動響應(yīng)曲線上迭加的一個振蕩運動,受迫振動響應(yīng)成為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線上迭加的一個振蕩運動,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,由于系統(tǒng)是線性的，也可利用疊加定理求解,＋,＝,,,通解：,初始條件響應(yīng),自由伴隨振動,強(qiáng)迫響應(yīng),,,,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,,即使在零初始

12、條件下，也有自由振動與受迫振動相伴發(fā)生,實際中總是存在著阻尼的影響，因而上式右端的暫態(tài)運動會逐漸衰減，進(jìn)而消失，最終系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng),單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,解：,的全解：,如果要使系統(tǒng)響應(yīng)只以 為頻率振動,必須成立：,,,初始條件：,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,解：,的全解：,正確？,,全解：,由,,求一階導(dǎo)數(shù)：,由,,,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,全解：,因此：,的全解

13、：,,,相同,,,不同,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,全解：,如果要使系統(tǒng)響應(yīng)只以 為頻率振動,初始條件：,,＝ 0,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,若激勵頻率與固有頻率十分接近,令：,,ε 小量,,,考慮零初始條件，有：,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,代入：,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,可看作頻率為 但振幅按 規(guī)律緩

14、慢變化的振動,這種在接近共振時發(fā)生的特殊振動現(xiàn)象稱為”拍”,拍的周期：,圖形包絡(luò)線：,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,當(dāng),隨 t 增大，振幅無限增大，無阻尼系統(tǒng)共振的情形,響應(yīng)曲線,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,討論有阻尼系統(tǒng)在過渡階段對簡諧激勵的響應(yīng),,,,,,,初始條件響應(yīng),自由伴隨振動,強(qiáng)迫響應(yīng),利用前述相同的方法，有：,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,初始條件響應(yīng),經(jīng)過充分長時間后，作

15、為瞬態(tài)響應(yīng)的前兩種振動都將消失，只剩穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動,,,,自由伴隨振動,強(qiáng)迫響應(yīng),單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,,,,初始條件響應(yīng),自由伴隨振動,強(qiáng)迫響應(yīng),對于零初始條件：,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,線性系統(tǒng)的受迫振動,簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性 受迫振動的過渡階段 簡諧慣性力激勵的受迫振動 機(jī)械阻抗與導(dǎo)納,單自由度系統(tǒng)受迫振動,簡諧慣性力激勵的受迫振動,背景：地基振動，轉(zhuǎn)子偏心引起的

16、受迫振動特點：激振慣性力的幅值與頻率的平方成正比例,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,簡諧慣性力激勵的受迫振動,背景：地基振動，轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動特點：激振慣性力的幅值與頻率的平方成正比例,坐標(biāo)：,動力學(xué)方程：,基座位移規(guī)律 ：,x1 m 相對基座位移,受力分析,D：基座位移振幅,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,,,回顧：,令：,有：,其中：,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵

17、的受迫振動,,幅頻曲線,相頻曲線,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,系統(tǒng)固有頻率從左到右：,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,,支承運動：,,,D,,,D,如何分析s>1，s<1，s=1?,若以絕對位移 x 為坐標(biāo),,其中：,則有：,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,,,,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,,,,,,,,,,代入：,無阻尼情況：,單自由度

18、系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,,,,幅頻曲線,可看出：,當(dāng) 時，,振幅恒為支承運動振幅D,當(dāng) 時，,振幅恒小于D,增加阻尼反而使振幅增大,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,例：,汽車的拖車在波形道路上行駛,已知拖車的質(zhì)量滿載時為 m1=1000 kg,空載時為 m2=250 kg,懸掛彈簧的剛度為 k =350 kN/m,阻尼比在滿載時為,車速為 v =100 km

19、/h,路面呈正弦波形，可表示為,求： 拖車在滿載和空載時的振幅比,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,解：,汽車行駛的路程可表示為：,路面的激勵頻率：,得：,c、k 為常數(shù)，因此 與 成反比,因此得到空載時的阻尼比為：,滿載和空載時的頻率比：,因為有：,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,滿載: m1=1000 kg,空載: m2=250 kg,車速 : v =100 km/h,,,

20、,,,k =350 kN/m,滿載時頻率比,記：滿載時振幅 B1，空載時振幅 B2,有：,滿載時阻尼比,空載時阻尼比,空載時頻率比,因此滿載和空載時的振幅比：,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,例：,已知梁截面慣性矩I，彈性模量E，梁質(zhì)量不計,支座B不動,求：質(zhì)量m的穩(wěn)態(tài)振動振幅,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問題 / 振動的隔離,支座A產(chǎn)生微小豎直振動,解：,固有頻率：,簡化圖,在質(zhì)量m作用下，由材料力學(xué)

21、可求出靜撓度,：因yA的運動而產(chǎn)生的質(zhì)量m處的運動,動力學(xué)方程：,振幅：,,桿做剛性處理，其柔性由彈簧表示,支承運動小結(jié),相對位移,基座位移規(guī)律 ：,絕對位移,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心慣性力是主要的激勵來源。旋轉(zhuǎn)機(jī)械總質(zhì)量為M，轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量為m，偏心距為e，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動角速度為,x：機(jī)器離開平衡位置的垂直位移,則偏心質(zhì)量的垂直位移：,由達(dá)朗伯原理，系統(tǒng)在垂直方向的動力學(xué)方程：,簡

22、化圖形,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,激振慣性力的幅值與頻率的平方成正比例,,me ：不平衡量,：不平衡量引起的離心慣性力,設(shè)：,得：,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,B 又寫為 ：,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,例：偏心質(zhì)量系統(tǒng),共振時測得最大振幅為0.1 m,由自由衰減振動測得阻尼系數(shù)為,假定,求：（1）偏心距 e；,（2）若要使系統(tǒng)共振時振幅為0.01 m，系統(tǒng)的總質(zhì)

23、量需要增加多少？,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,解:（1）,共振時測得最大振幅為0.1 m,由自由衰減振動測得阻尼系數(shù)為,共振時最大振幅,,（2）若要使系統(tǒng)共振時振幅為0.01 m,,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,偏心質(zhì)量小結(jié),解1：,解2：,線性系統(tǒng)的受迫振動,簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性 受迫振動的過渡階段 簡諧慣性力激勵的

24、受迫振動 機(jī)械阻抗與導(dǎo)納,單自由度系統(tǒng)受迫振動,機(jī)械阻抗與導(dǎo)納,工程中常用機(jī)械阻抗來分析結(jié)構(gòu)的動力特性,機(jī)械阻抗定義為簡諧激振時復(fù)數(shù)形式的輸入與輸出之比,動力學(xué)方程：,：輸入,：輸出,代入，得：,復(fù)頻響應(yīng)函數(shù),根據(jù)定義，位移阻抗：,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 機(jī)械阻抗和導(dǎo)納,位移阻抗與復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)互為倒數(shù)， 也稱為導(dǎo)納,輸出也可以定義為速度或加速度，相應(yīng)的機(jī)械阻抗稱為速度阻抗和加速度阻抗,速度阻抗,加速度阻抗,機(jī)械阻抗

25、的倒數(shù)稱為機(jī)械導(dǎo)納，相應(yīng) 、 、 分別有位移導(dǎo)納、速度導(dǎo)納和加速度導(dǎo)納,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 機(jī)械阻抗和導(dǎo)納,位移阻抗,速度阻抗,加速度阻抗,機(jī)械阻抗和機(jī)械導(dǎo)納都僅僅取決于系統(tǒng)本身的動力特性（m，k，c），它們都是復(fù)數(shù),現(xiàn)已有多種專門測試機(jī)械阻抗的分析儀器，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械阻抗可以確定和分析系統(tǒng)的固有頻率、相對阻尼系數(shù)等參數(shù)及其它動力特征,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 機(jī)械阻抗和導(dǎo)納,

26、復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)又可寫為：,模及幅角：,同時反映了系統(tǒng)響應(yīng)的幅頻特性和相頻特性,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 機(jī)械阻抗和導(dǎo)納,記 實部和虛部為：,實頻特性曲線和虛頻特性曲線,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 機(jī)械阻抗和導(dǎo)納,發(fā)生共振時,近似取最大值,還可以用頻率比 s 或相對阻尼系數(shù) 作參變量，把 畫在復(fù)平面上，這樣得到的曲線稱為乃奎斯特圖（Nyquict plot）,粘性阻尼系數(shù)的 Nyquict 圖是一個近似的圓，并