第1講-常微分方程的物理背景

1、第一講: 微分方程的物理背景 ——動力機制的數(shù)學模型 內(nèi)蒙古大學阿拉坦倉 教 授alatanca@imu.edu.cn課件制作： 阿拉坦倉 侯國林,1. 茶水的變涼,剛泡完的茶一喝會很燙，那什么時候喝呢？茶水是如何變涼的？你們能給出一個精確的時間嗎？,“……數(shù)學之所以有高聲譽, 一個理由就是數(shù)學使得自然科學實現(xiàn)定理化, 給予自然科

2、學某種程度的可靠性” . ——愛因斯坦,熱茶什么時候喝可靠？用數(shù)學怎么回答？,茶水的溫度為時間t的一元函數(shù), 記為u(t).,(1),假設(shè)空氣的溫度恒為ua=24℃. 物體溫度的變化速度與物體和外界溫度的差值成比例.設(shè)比例系數(shù)為k (k>0),于是有,(1),公式(1)就是描述茶水變涼的簡單數(shù)學模型.,像(1)那樣, 包含未知函數(shù)以及未知函數(shù)導數(shù)(微分)的等式, 稱為常微分方程.

3、,而出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù), 稱為微分方程的階.,常數(shù)的導數(shù)為0, 于是,是什么類型的函數(shù)？,像(2)那樣, 含有與方程的階數(shù)相同的任意獨立常數(shù)的解稱為通解.,(2),,假設(shè)環(huán)境溫度恒為ua=24℃, t=0時茶水的溫度為u0=90℃, 則c=66. 從而,k與物質(zhì)的特性有關(guān), 做實驗: 5分鐘后測得茶水的溫度為u1=30℃ , 則,,于是有,我們得到,,上式稱為方程(1)的特解 .,(3),,,特解的圖形為:,微分方程差

4、不多是和微積分同時產(chǎn)生的, 牛頓和萊布尼茲奠定微積分基本思想的同時, 他們也于17世紀正式提出了微分方程的概念.,微分方程這么深奧的知識是誰發(fā)現(xiàn)的呢？,萊布尼茲(1646-1716),德國哲學家、數(shù)學家,牛頓(1643-1727),英國物理學家、數(shù)學家、哲學家,“如果說我比別人看得更遠些, 那是因為我站在了巨人的肩上”.

5、 —— 牛頓,對于牛頓而言, 一個“巨人”可能是開普勒.,牛頓研習了開普勒等天文學家的先進思想, 提出了萬有引力定律和基于萬有引力定律的描述天體運動規(guī)律的牛頓二體運動方程.,牛頓二體運動方程就是常微分方程.,微分方程是與實際問題聯(lián)系緊密的數(shù)學分支, 他能對許多物理問題的動力學機制進行定性刻畫.,英國天文學家亞當斯和法國天文學家勒維烈使用微分方程各自計算出那時尚未發(fā)

6、現(xiàn)的海王星的位置等, 與后來的天文觀測誤差很小.,本講再通過兩個簡單的物理模型:,落體運動,人口的增長,引入常微分方程的基本概念.,2. 落體運動？,,如果是自由落體, 真空環(huán)境, 即物體只受重力作用, 由牛頓第二運動定律 F=ma, 有:,,,(4),,其中 s=s(t) 是未知函數(shù).,g是一個常數(shù), 什么函數(shù)的二階導數(shù)為一個常數(shù)呢？,,(5)為(4)的通解.,(5),自由落體的位移為雙曲線, 下降速度很快, 而且越來越快(只

7、要高度足夠高)!,如果是這樣, 高空跳傘豈不是很危險？,絕對的真空環(huán)境是不存在的, 一般情況下, 物體的下落還要受到空氣阻力的影響!,設(shè)阻力與速度成正比, 比例系數(shù)為k>0,,阻力方向與運動方向相反, 于是:,,,于是得到如下方程模型:,(6),,(6),像(6)那樣, 未知函數(shù)及其各階導數(shù)的次數(shù)都是一次的方程稱為線性方程, 否則稱為非線性方程.,,3. 世界人口增長的Logistic模型,某地區(qū)的人口總數(shù)N=N(t), 人口是

8、怎么增長的？一個人能增長嗎？,,(7),——馬爾薩斯（Malthus）人口律,,如果N(t0)=N0, 類似于方程(1)解的分析,(7)的解為,,指數(shù)增長, 人口大爆炸？,統(tǒng)計研究表明, 人口增長與人口總數(shù)成正比, 并受與人口的平方成正比的負增長率的限制, 即:,—— Logistic人口律,（8）,,,其中a>0, b>0, a>>b.,,,上述方程為非線性方程.,(8)式可改寫為,通過3個引例, 我

9、們介紹了常微分方程的物理背景. 一般地,n階微分方程的一般形式為:,（9）,這里 是,n階顯示微分方程的一般形式為:,,(10),如n=1時, 變?yōu)?階微分方程 y'= f (x, y).,最后, 總結(jié)一下常微分方程在實際問題中應(yīng)用的過程:,實際問題,?求解方程,?常微分方程（建模）,?實際問題,一個例子比十個定理重要. —— 牛頓

10、,數(shù)學對觀察自然做出重要的貢獻, 它解釋了規(guī)律結(jié)構(gòu)中簡單的原始元素, 而天體就是用這些原始元素建立起來的. ——開普勒,實踐證明, 常微分方程數(shù)學正是研究天體運動機理的一門重要學問！,沒有哪門學科能比數(shù)學 更為清晰地闡明自然界的和諧性.