第9章功平衡法和上限法及其應用

1、202第9章功平衡法和上限法及其應用如前所述，確定金屬塑性加工變形力學的理論解是極為困難的，即使比較簡單的平面應變問題和軸對稱問題也不易辦到。于是促使人們尋找各種近似求解方法。近似解法依據(jù)其原理分為兩類：一類是根據(jù)力平衡條件求近似解，如第七章工程法；另一類是根據(jù)能量原理求近似解，如本章功平衡法和上限法等。功平衡法是利用塑性變形過程的功平衡原理來求解變形力的近似解；極值原理是根據(jù)虛功原理和最大塑性功耗原理，確定物體總位能接近于最低狀態(tài)下，

2、即物體處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)下變形力的近似解。9.1功平衡法功平衡法是利用塑性變形過程中的功平衡原理來計算變形力的一種近似方法，又稱變形功法。功平衡原理是指：塑性變形過程外力沿其位移方向上所作的外部功（WP）等于物體塑性變形所消耗的應變功（Wd）和接觸摩擦功（Wf）之和，即WP=WdWf對于變形過程的某一瞬時，上式可寫成功增量形式dWP=dWddWf（1）外力所作功的增量dWP設外力P沿其作用方向產(chǎn)生的位移增量為duP，則dWp=PduP（2

3、）塑性變形功增量dWddWd為變形物體內(nèi)力所作功增量。當變形物體中某一單元體積為dV，所處主應力狀態(tài)為、、，相應的主應變增量分別為、、時，則該單元體積的塑性1?2?3?1?d2?d3?d變形功增量為dWd=ddV=(dVij?ij?)ddd332211????????根據(jù)應力應變增量理論方程eemmmdddd???????????23332211??????可求得、、，考慮到塑性變形時σe=σT代入上式，經(jīng)整理后得，整個塑性變1?d2?

4、d3?d形體V內(nèi)所消耗的塑性變形功增量為：????dVddWWevTdd??204???ud??由體積不變條件0????????hdhpdududddzp?????于是)()(hdhdu??????積分后得du=（12）ρ（dhh）C當ρ=0時，即圓柱體中心軸上，du=0，積分常數(shù)C=0，于是徑向位移du=（12）ρ（dhh）代入式（a），得徑向和周向應變增量為：dεz=dhhhdudhdhd)21()21(??????即等效應變增量h

5、dhdzppze])()()[()32(222????????????????下面按式（91），計算各項功的消耗，并求變形力?????vTTevTddhDdVhdhdVdW?????2)4(圓柱體上下接觸面上消耗的摩擦功增量，考慮到dF=2ρdρ及，得：?Tfm?????FTfmdudFW?2???)()2()32(2)(32)2(0hdhDmGdpphdhmDT???外力所作功為PdhWP?將以上各式代入功平衡方程式（91）中，可求得