《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》中的多元表征問(wèn)題探討

1、《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》課例分析——兼談多元表征問(wèn)題,曹新13970787517gnsycaoxin@126.com,案例分析：吳正憲老師的一個(gè)課例,吳正憲.《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》課堂實(shí)錄.教育的理論與實(shí)踐,2007,9,B,前言,分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，是代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。為了幫助學(xué)生更好地理解分?jǐn)?shù)，課程標(biāo)準(zhǔn)及教科書(shū)將分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)分別安排在：第一學(xué)段——三年級(jí)（分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)），第二學(xué)段——五年級(jí)（分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)）。,由于分?jǐn)?shù)難學(xué)，多

2、次引起各方面的討論甚至爭(zhēng)論。爭(zhēng)論的焦點(diǎn)主要集中在五年級(jí)分?jǐn)?shù)的意義，并將其作為一個(gè)重要的研究論題。 相對(duì)而言，由于分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)，多半從“切大餅”或“分蛋糕”開(kāi)始的，即借助于直觀模型（面積模型、數(shù)線模型）初步理解分?jǐn)?shù)刻畫(huà)的“部分—整體”之間的比率關(guān)系（作為“率”的分?jǐn)?shù)），教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法沒(méi)有太大的異議。,對(duì)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》學(xué)習(xí)的調(diào)查卻顯示：通過(guò)近距離的課堂觀察，發(fā)現(xiàn)——在理所當(dāng)然且習(xí)以為常的操作活動(dòng)中，學(xué)生并非按我們的預(yù)想在進(jìn)行數(shù)

3、學(xué)思考。反思：在問(wèn)題情境中，學(xué)生真正體會(huì)到學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的必要性了嗎？在順利的操作活動(dòng)中，學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考嗎？如果學(xué)生在情境、活動(dòng)中沒(méi)有經(jīng)歷真實(shí)的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，那么理解又何以產(chǎn)生？,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的研究表明，理解概念的關(guān)鍵在于將數(shù)學(xué)概念的抽象定義的含意轉(zhuǎn)換成易于學(xué)生理解和運(yùn)用的適當(dāng)?shù)男睦肀硐?。轉(zhuǎn)換：是將抽象概念與學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建立有層次的聯(lián)系：引導(dǎo)學(xué)生在概念的抽象定義、半抽象模型（或操作）、具體原型（或活動(dòng)）之間進(jìn)行尋找意義與

4、數(shù)學(xué)化的過(guò)程。,數(shù)學(xué)化與尋找意義-數(shù)學(xué)教學(xué)的基本活動(dòng) 自左至右：數(shù)學(xué)化 自右至左：尋找意義,,換句話說(shuō)，學(xué)習(xí)者需要通過(guò)內(nèi)化概念的多種表達(dá)形式并與已有的內(nèi)在表象發(fā)生相互作用，以此促進(jìn)或影響學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)理解。 理解概念涉及：概念的豐富表達(dá)形式——外在表征，概念的心理表達(dá)（表象）——內(nèi)在表征，以及內(nèi)外表征之間的轉(zhuǎn)換。,內(nèi)容框架,§1 分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)與前概念§2 《分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)》的教學(xué)流程

5、§3《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》課例分析,§1 分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)與前概念,義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）對(duì)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》的要求是：能結(jié)合具體情境初步理解分?jǐn)?shù)的意義，能讀、寫(xiě)分?jǐn)?shù)，能比較兩個(gè)同分母分?jǐn)?shù)的大??；能運(yùn)用分?jǐn)?shù)表示日常生活中的一些事物，并進(jìn)行交流。教材的目標(biāo)定位：主要利用直觀的方式，使學(xué)生通過(guò)折一折、涂一涂等動(dòng)手操作的方式，初步理解分?jǐn)?shù)的意義，掌握分?jǐn)?shù)的大小。實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)，一要分析教學(xué)內(nèi)容，以充分了解分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的

6、困難之處；二要分析學(xué)情，以找準(zhǔn)教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)：學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。,分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的難點(diǎn),一直以來(lái)，在學(xué)生的心目中并不承認(rèn)分?jǐn)?shù)是個(gè)“數(shù)”，是個(gè)“結(jié)果”。 其一，分?jǐn)?shù)并非“十進(jìn)制”，這是與整數(shù)及其運(yùn)算的最大差別。 其二，引入分?jǐn)?shù)是為了表示“量”，但“幾分之一”表示的卻是部分與整體之間的“比率”。 其三，分?jǐn)?shù)所能表示的“量”有更易于學(xué)生接受的替代物—小數(shù)，分?jǐn)?shù)所能表示的“比率”也有更易于學(xué)生接受的替代物—百分?jǐn)?shù)與比（這些

7、后續(xù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容在生活中卻先接觸）。,其四，分?jǐn)?shù)反映了數(shù)學(xué)概念的二重性： 既表現(xiàn)為一種過(guò)程操作——先分，把一個(gè)對(duì)象平均分，分之后就確定了分母，就創(chuàng)造了一個(gè)分?jǐn)?shù)單位。然后再取一份或幾份，即是數(shù)有多少個(gè)單位，也就是確定分子；又表現(xiàn)為對(duì)象、結(jié)構(gòu)——a/b。 這種兼具算法與結(jié)果的特點(diǎn),給學(xué)生帶來(lái)很大的認(rèn)知負(fù)荷，影響著他們的認(rèn)知加工。,學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),一是具備“平均分”的認(rèn)識(shí)。缺乏的是進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)——逆向思維，以及由此引出新數(shù)——

8、分?jǐn)?shù)的意識(shí)。具有諸多與“分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)”有關(guān)的操作體驗(yàn)，學(xué)生缺乏的是探究操作活動(dòng)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)——所取的份數(shù)與整體的“比率”關(guān)系。,§2 《分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)》的教學(xué)流程,兩種設(shè)計(jì)思路都沒(méi)有探討以下問(wèn)題：①課文呈現(xiàn)的分?jǐn)?shù)外在表征之間有沒(méi)有層次性？若有，怎樣在教學(xué)中加以體現(xiàn)？②分?jǐn)?shù)的外在表征有哪些類(lèi)型？類(lèi)型之內(nèi)、類(lèi)型之間有怎樣的關(guān)系？這些關(guān)系對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)有怎樣的要求？③分?jǐn)?shù)的外在表征與內(nèi)在表征有怎樣的關(guān)系？這種關(guān)系對(duì)于分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)設(shè)

9、計(jì)有怎樣的啟發(fā)？,§3《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》課例分析,這堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)有什么特點(diǎn)？這堂課的師生對(duì)話有什么特點(diǎn)？對(duì)這堂課你想提哪些改進(jìn)建議？,一、教學(xué)設(shè)計(jì)：為學(xué)生的發(fā)展而教,巧選素材，讓學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué) ?西游記故事——“如何表示一半”？ ?怎樣分月餅——引入分?jǐn)?shù)概念 ?讀圖識(shí)分?jǐn)?shù)——加深對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解創(chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)，讓學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué) ?折紙——表示分?jǐn)?shù)、討論分?jǐn)?shù) ?辯論——揭示分?jǐn)?shù)概念的核心 ?用分?jǐn)?shù)說(shuō)一句話——揭

10、示分?jǐn)?shù)與生活的聯(lián)系,注重學(xué)法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí) ?學(xué)會(huì)將新知與生活經(jīng)驗(yàn)、已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系 ?學(xué)會(huì)在在操作、實(shí)踐活動(dòng)中認(rèn)識(shí)、理解知識(shí) ?學(xué)會(huì)傾聽(tīng)、獨(dú)立思考、善于合作交流 ?學(xué)會(huì)用所學(xué)知識(shí)解釋生活中的現(xiàn)象,二、師生對(duì)話特點(diǎn),以低層次（回憶、理解）提問(wèn)為多、為輔，以高層次（應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)、綜合）提問(wèn)為少、為主；教學(xué)中的主問(wèn)題6個(gè)設(shè)置為高層次問(wèn)題；對(duì)主問(wèn)題的探討注意了兩種層次的問(wèn)題的結(jié)合；輔助性問(wèn)題設(shè)置不多，學(xué)生在較高的認(rèn)知水平

11、上開(kāi)展學(xué)習(xí)。,三、對(duì)課例的幾點(diǎn)看法,1.教學(xué)目標(biāo)敘寫(xiě)的存在的問(wèn)題2.情境的創(chuàng)設(shè)存在問(wèn)題3.分?jǐn)?shù)是“量”還是“數(shù)”？4.對(duì)分?jǐn)?shù)有無(wú)限多個(gè)的探討5.為什么“1/2”比其他的表示更科學(xué)、簡(jiǎn)便？6.“如何表示一半”？——為什么將學(xué)生過(guò)早、過(guò)多地限制于符號(hào)表征一種方式？,1.教學(xué)目標(biāo)敘寫(xiě)的存在的問(wèn)題,沒(méi)有體現(xiàn)三維目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)的主體混亂怎樣寫(xiě)才能好一些？,? 知識(shí)與技能目標(biāo)：會(huì)讀、寫(xiě)分?jǐn)?shù)，說(shuō)出分?jǐn)?shù)各部分的名稱，理解幾分之一的具體含

12、義。 ?過(guò)程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷“一半”、“平均分”表示的探究、交流、合作的過(guò)程，體會(huì)分?jǐn)?shù)的意義與不同的表示方法，增進(jìn)數(shù)學(xué)的圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)換的能力，提升對(duì)分?jǐn)?shù)的不同表征的水平，養(yǎng)成有條理地思考與表述問(wèn)題的習(xí)慣。 ?情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：經(jīng)歷“一半”、“平均分”表示，以及用分?jǐn)?shù)說(shuō)一句話的數(shù)學(xué)化歷程，感受數(shù)學(xué)理性思維的魅力，加深對(duì)數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系的理解，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。,2.情境的創(chuàng)設(shè)存

13、在問(wèn)題,從一個(gè)虛假的情境中引出了一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題 ?如何改進(jìn)？ ?“指導(dǎo)探索”中的設(shè)問(wèn)依然值得商榷。 ?對(duì)一些情境的思考,我們創(chuàng)設(shè)了怎樣的情境？,®金陽(yáng)廣場(chǎng)是一個(gè)邊長(zhǎng)為400米的正方形休閑廣場(chǎng)，廣場(chǎng)的4個(gè)角上建有A、B、C、D 4個(gè)生活小區(qū)。小區(qū)欲安裝煤氣管道，但煤氣公司只將煤氣主管道接到A區(qū)，另外3個(gè)小區(qū)的煤氣管道將由他們自行鋪設(shè)并與A區(qū)連通。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)與A區(qū)相連的最短煤氣管道鋪設(shè)方案 。,®《比的

14、意義》（六年級(jí)?上） 師：再過(guò)幾天就是祖國(guó)53歲生日了，我們一起看一段短片（錄像：義勇軍進(jìn)行曲）。53年前的10月1日，中國(guó)的五星紅旗第一次迎著燦爛的朝陽(yáng)在天安門(mén)廣場(chǎng)上冉冉升起，毛主席在天安門(mén)城樓上莊嚴(yán)宣布：中華人民共和國(guó)成立了！中國(guó)人民從此站起來(lái)了！瞧，五星紅旗紅旗如此燦爛、美麗，讓無(wú)數(shù)中國(guó)人為之驕傲與自豪，其實(shí)在我們的國(guó)旗里還隱藏這很多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢！你想了解它嗎？老師告訴你們：它的長(zhǎng)為3米，寬為2米。你能求什么呢？,®

15、;《分?jǐn)?shù)的意義》 師：其實(shí)，在我們學(xué)過(guò)的成語(yǔ)中就隱含了分?jǐn)?shù)，想一想，你能舉出這樣的例子嗎？生：十拿九穩(wěn)、九死一生、百里挑一、十全十美、百發(fā)百中…… ®《弧度制》 教師在黑板上畫(huà)了一個(gè)角，然后拿出一段繩子，問(wèn)：同學(xué)們，如何度量這個(gè)角？,®《等腰三角形的性質(zhì)》 教師創(chuàng)設(shè)了走進(jìn)埃及看金字塔這樣一個(gè)生活情境，讓學(xué)生從神秘的金字塔模型中開(kāi)始探索等腰三角形的特征。課后教師還布置一個(gè)實(shí)驗(yàn)任務(wù)，使數(shù)學(xué)課堂得到進(jìn)一步延伸：依

16、照比例復(fù)制一個(gè)小型的金字塔模型，再將食物放置入內(nèi)，看幾周后食物是否完全脫水，有沒(méi)有腐敗現(xiàn)象？,3.分?jǐn)?shù)是“量”還是“數(shù)”？,“指導(dǎo)探索” ①待同學(xué)們明確了“平均分”后，老師帶領(lǐng)同學(xué)們邊比劃邊說(shuō)：把一個(gè)月餅平均分成兩份，每份就是這個(gè)月餅的二分之一。之后，讓小伙伴之間互相講述自己對(duì)“1/2”的理解。 ②你還能在這塊月餅中找到另一個(gè)二分之一嗎？一個(gè)同學(xué)很快地跑到前面，在月餅的另一半寫(xiě)上了“1/2”。 ③同學(xué)們用不同的折法表現(xiàn)

17、“1/2”。,4.對(duì)分?jǐn)?shù)有無(wú)限多個(gè)的探討,P37： 師：同學(xué)們請(qǐng)看，像“1/2、1/3、1/4、1/5、1/8”這樣的數(shù)都叫分?jǐn)?shù)。你還能舉出分?jǐn)?shù)的例子來(lái)嗎？ （同學(xué)們躍躍欲試，不由自主地站起來(lái)，舉著他們的“研究成果”給大家看） 師：這樣說(shuō)下去，說(shuō)到今天晚上能說(shuō)得完嗎？ 生：（迫不及待）我知道了，分?jǐn)?shù)有無(wú)限個(gè)。 師：對(duì)，分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。 問(wèn)題：上述對(duì)話能表明分?jǐn)?shù)有無(wú)限多嗎？,5.為什么“

18、1/2”比其他的表示更科學(xué)、簡(jiǎn)便？,①教師讓學(xué)生用自己喜歡的方式表示“半個(gè)”，并讓他們解釋每種表示方法的含義。 ②向?qū)W生介紹一種“更科學(xué)、更簡(jiǎn)潔”的表示方法——“1/2” 。 問(wèn)題：老師能向?qū)W生說(shuō)明“1/2更簡(jiǎn)潔、更科學(xué)”嗎？,生活數(shù)學(xué)≈學(xué)校數(shù)學(xué)？?生活數(shù)學(xué)對(duì)“一半”的表示?生活數(shù)學(xué)與學(xué)校數(shù)學(xué)之間的鴻溝?關(guān)注差異，重視溝通——數(shù)學(xué)化,6.過(guò)早、過(guò)快地將學(xué)生的分?jǐn)?shù)表征限制于符號(hào)這一方式有什么問(wèn)題？,課本中的多元外

19、在表征,實(shí)物操作——切西瓜、蘋(píng)果、月餅；模型操作——搭積木、折紙；喂養(yǎng)鴿子的盒子兼具實(shí)物與模型的特點(diǎn)；積木、地毯還隱含著線段圖、面積圖；周邊的樹(shù)木可以作為外在表征的實(shí)物。,師（指著黑板上學(xué)生寫(xiě)的文字、畫(huà)的線段和圖畫(huà)）老師想和你們商量一下，這些圖、線段和文字都表示把一個(gè)物體平均分成兩份，表示其中的一份。如果你認(rèn)為“1/2”這個(gè)分?jǐn)?shù)，能表示你的意思，就可以擦掉你所寫(xiě)的；如果你認(rèn)為你的表現(xiàn)方法更好，也可以保留意見(jiàn)。 （很多

20、同學(xué)紛紛跑上去擦掉自己寫(xiě)的文字、畫(huà)的圖與線段，只有一位同學(xué)堅(jiān)持認(rèn)為自己畫(huà)的圖更好，老師尊重了他的意見(jiàn)，并把這幅桃子圖框起來(lái)保留在黑板上）,教師對(duì)學(xué)生的要求,生5：我爸爸買(mǎi)了100個(gè)雞蛋，打碎了1個(gè)，打碎了的正好占這些雞蛋的1/100。 （師順手把1/100寫(xiě)到了黑板上。并特意把堅(jiān)持用畫(huà)圖的方法表示分?jǐn)?shù)的哪位同學(xué)請(qǐng)上來(lái)） 師：1/100該怎樣用你喜歡的畫(huà)圖方法表示呢？請(qǐng)你試試看。 （只見(jiàn)這位同學(xué)認(rèn)真地畫(huà)著，畫(huà)著畫(huà)著

21、他停了，揚(yáng)起小臉對(duì)老師說(shuō)，這種方法太麻煩了，還是用分?jǐn)?shù)表示好。邊說(shuō)邊把自己畫(huà)在黑板上的桃子圖擦掉。）,教師在課堂一直采用多元外在表征,表示“半個(gè)桃子”“分月餅”用圖形表示分?jǐn)?shù)折分?jǐn)?shù)用分?jǐn)?shù)說(shuō)一句話用線段圖表示分?jǐn)?shù),認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的元素,1）數(shù)學(xué)知識(shí)的外部表征 2）數(shù)學(xué)思維的媒介—內(nèi)在表征（心理表象） 3）心理表象與定義的關(guān)系,Janvier認(rèn)為多元表征是指同一數(shù)學(xué)對(duì)象的不同表示形式： ?可以是心理的、主觀的

22、東西，這叫內(nèi)在表征（Internal Representation）或心智表征（Mental Representation）,譬如個(gè)體在頭腦中建構(gòu)數(shù)學(xué)對(duì)象的心像（Mental Images）等； ?表征也可以是外在于人腦的、客觀世界的東西，這叫外在表征（External Representation），譬如言語(yǔ)、文字、符號(hào)、圖片、具體物、活動(dòng)或?qū)嶋H情境等．,Hiebert和Carpenter： ?外在表征是指以語(yǔ)言、文字、

23、符號(hào)、圖片、具體物、活動(dòng)或?qū)嶋H情境等形式存在的表征。 ?內(nèi)在表征是指存在于學(xué)習(xí)者頭腦里而無(wú)法直接觀察的心智表征或?qū)W習(xí)者擁有的心智結(jié)構(gòu)。 學(xué)習(xí)者通過(guò)外在表征可以表達(dá)出自己的想法而達(dá)到溝通和交流的目的，通過(guò)內(nèi)在表征可以進(jìn)行想象、推理等思維活動(dòng)。,Hiebert和Carpenter： ?外在表征是指以語(yǔ)言、文字、符號(hào)、圖片、具體物、活動(dòng)或?qū)嶋H情境等形式存在的表征。 ?內(nèi)在表征是指存在于學(xué)習(xí)者頭腦里而

24、無(wú)法直接觀察的心智表征或?qū)W習(xí)者擁有的心智結(jié)構(gòu)。 學(xué)習(xí)者通過(guò)外在表征可以表達(dá)出自己的想法而達(dá)到溝通和交流的目的，通過(guò)內(nèi)在表征可以進(jìn)行想象、推理等思維活動(dòng)。,Goldin：?外在表征是從傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)（如數(shù)軸、笛卡兒坐標(biāo)系）到結(jié)構(gòu)性的學(xué)習(xí)情境（如包含具體操作活動(dòng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境、基于電腦的微觀學(xué)習(xí)環(huán)境）。?內(nèi)在表征則指學(xué)習(xí)者對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的意義賦予與建構(gòu)，包括學(xué)習(xí)者的言語(yǔ)語(yǔ)義、心像、視空間表征、計(jì)劃監(jiān)控策略及啟發(fā)法

25、、數(shù)學(xué)的情感表征系統(tǒng)等。,1）數(shù)學(xué)知識(shí)的外部表征,刻畫(huà)數(shù)學(xué)對(duì)象的每種表征具有各自的特點(diǎn)與功能： ?口語(yǔ)、書(shū)寫(xiě)文本、數(shù)學(xué)公式和邏輯表示等表征可以任意表達(dá)，但與約定內(nèi)容緊密相關(guān)，而且包含反映關(guān)系的各種符號(hào)。能描述和表達(dá)抽象的、邏輯的意義，這些表征既是人腦左半球的功能特點(diǎn)，也是左半球發(fā)展的外在促進(jìn)。 ?實(shí)物模型、圖形、圖表、圖像等不含有反映關(guān)系的各種符號(hào)，但卻描繪了具體的、形象的、直覺(jué)的意義，便于人們較為快捷地“可視化” 數(shù)學(xué)的整體

26、結(jié)構(gòu)和意義，這些表征既是人腦右半球的功能特點(diǎn)，也是右半球發(fā)展的外在促進(jìn)。,?不同的表征在表示信息上可能是等效的，但在思維運(yùn)演和交流等功能上并不等效：實(shí)物模型、圖形等表征適合于形象，直覺(jué)思維等非邏輯思維，有助于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)；文字、符號(hào)等表征適合于邏輯思維，有助于邏輯、理性思辨的培養(yǎng)。 ?很多數(shù)學(xué)對(duì)象的具體表征具有優(yōu)先性和典型性。如，表征“數(shù)”的概念，阿拉伯?dāng)?shù)字比較羅馬數(shù)字具有優(yōu)先性和典型性。但有時(shí)優(yōu)先性和典型性卻扮演負(fù)面的影響。如，

27、標(biāo)準(zhǔn)的幾何圖形或數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)容易使學(xué)習(xí)者依賴典型。 總之，數(shù)學(xué)對(duì)象的多元表征的特征，在外在結(jié)構(gòu)形式上如同冰山；在內(nèi)容上，表征的豐富性以及相互聯(lián)系性構(gòu)成知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；在方法上，表征間的轉(zhuǎn)換或轉(zhuǎn)譯體現(xiàn)了邏輯思維與非邏輯思維的互補(bǔ)。,?Keller和Hirsch：數(shù)學(xué)對(duì)象的多元外在表征能夠具體形象地凸顯一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的多元外在屬性；能強(qiáng)化數(shù)學(xué)對(duì)象復(fù)雜性的一面，同時(shí)也可能淡化其復(fù)雜的一面；能夠便于學(xué)習(xí)者對(duì)不同表征的認(rèn)知聯(lián)接。

28、 ■Bruner:數(shù)學(xué)對(duì)象有三種表征，即活動(dòng)性表征→圖象性表征→符號(hào)性表征。,■數(shù)學(xué)知識(shí)的外部表征(Lesh),?它們之間不一定存在先后的發(fā)展順序，主要應(yīng)重視它們之間的轉(zhuǎn)換與相互影響，因?yàn)檫@種轉(zhuǎn)換與影響對(duì)于學(xué)生的概念形成和理解有重要的意義。?知識(shí)的外部表征及其轉(zhuǎn)換和聯(lián)系，將共同參與學(xué)生的思考活動(dòng)，被他們選取、改造和適應(yīng)，轉(zhuǎn)變?yōu)樾睦砩系谋碚鳌?■ 基于表征符號(hào)的本質(zhì)差異，認(rèn)知心理學(xué)家將外在表征分為：敘述性表征與描述性表征兩大類(lèi)。

29、兩種表征具有各自的特點(diǎn)與功能： ?敘述性（言語(yǔ)化）表征，其本質(zhì)為抽象符號(hào)，通過(guò)言語(yǔ)對(duì)被表征的對(duì)象進(jìn)行抽象的描述。如，口語(yǔ)、書(shū)寫(xiě)文本、數(shù)學(xué)公式、邏輯表示等。這一類(lèi)表征與約定內(nèi)容緊密相關(guān)，而且包含反映關(guān)系的各種符號(hào)，能夠描述和表達(dá)抽象的、邏輯的意義； ?描述性（視覺(jué)化）表征，其本質(zhì)為直觀模式，通過(guò)圖式元素對(duì)被表征的對(duì)象進(jìn)行形象的描繪。如，實(shí)物模型、圖形、圖表、圖像等。這一類(lèi)表征描繪了具體的、形象的、直覺(jué)的意義，便于人們較為快捷地

30、“可視化”數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)和意義。 比較而言，敘述性表征適合于邏輯思維，有助于邏輯、理性思辨的培養(yǎng)；描述性表征適合于形象、直覺(jué)思維，有助于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。,多元表征學(xué)習(xí)模型,2）數(shù)學(xué)思維的媒介—心理表象 思維中信息的形態(tài),在定義和圖形兩者中，人們更傾向于利用一些圖形作為概念的代表，并用它們表示概念。記憶中存貯的信息的形式有三種既不排斥、也不包含的可能性：語(yǔ)言文字、命題；圖畫(huà)；既非詞句，也非圖畫(huà)。Krut

31、eskii：語(yǔ)言-邏輯方式與視覺(jué)-圖形方式，導(dǎo)致三類(lèi)學(xué)生（分析型、幾何型、協(xié)調(diào)型）相應(yīng)于“直觀”、“幾何型”思維方式的具體表現(xiàn)，心理學(xué)上有一個(gè)概念-表象。,心理表象的存在性-數(shù)學(xué)家的內(nèi)省 ■Hadamard：數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué) ■Euler：解釋演繹的特性 ■Piaget：直觀對(duì)于發(fā)現(xiàn)必不可少 ■Hilbert：數(shù)學(xué)研究?jī)煞N趨勢(shì)：抽象與直觀 ■Griffiths：數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的思維媒介是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的模型和實(shí)例 ■Bro

32、wn：學(xué)生常用的五種意象：具體意象、記憶意象、動(dòng)覺(jué)意象、動(dòng)態(tài)意象、模式意象。,■Descartes：意象本身不會(huì)產(chǎn)生科學(xué)，但在某些情況下，我們還是要求助于它。 ■Piaget：表象的三種類(lèi)型 由內(nèi)化的模仿活動(dòng)形成的； 通過(guò)基本的思想實(shí)驗(yàn)建立的； 思維運(yùn)算的動(dòng)態(tài)符號(hào)。,心理表象的特點(diǎn)——基本特征表象是相對(duì)形象、具體的表象具有綜合性、整體性表象具有不全面、不精確、不深刻的弱點(diǎn)表象有一個(gè)發(fā)展過(guò)程表象因人而異、因事

33、而異 ?思維表象如何在抽象與直覺(jué)之間維持一種平衡，既能比較直觀地表達(dá)對(duì)象，又盡可能不遺漏和不歪曲定義所規(guī)定的人工對(duì)象的性質(zhì)，是學(xué)習(xí)中必須及時(shí)解決的問(wèn)題。,3）心理表象與定義的關(guān)系 表象是最活躍的心理因素Vinner:內(nèi)部信息更多地表示為與概念有關(guān)系的性質(zhì)和心理圖像的組合。理解的要素:“建構(gòu)理解就是建構(gòu)表象”得益于表象的具體、形象的特點(diǎn)，思維將可以運(yùn)轉(zhuǎn)得迅速靈活。形成好的概念表象，會(huì)對(duì)把握和理解概念有幫助。,定義：建構(gòu)概念的腳手

34、架 — 工具 ■Vinner:獲得概念就是形成概念表象，用心學(xué)習(xí)定義不保證理解。 ■Freudenthal:概念形成主要參考的是經(jīng)驗(yàn)現(xiàn)象和事實(shí)。 ?數(shù)學(xué)教師創(chuàng)造理解：將數(shù)學(xué)概念的抽象定義的含義轉(zhuǎn)換成易于學(xué)生理解和運(yùn)用的適當(dāng)?shù)男睦肀硐?，幫助學(xué)生靈活地掌握表象。,概念活動(dòng)的過(guò)程分析■定義與表象是概念這枚硬幣的兩個(gè)面，它們各有側(cè)重，又互相補(bǔ)充，相輔相成，在幫助學(xué)生形成與運(yùn)用概念方面共同發(fā)揮作用?！龆x以語(yǔ)言為途徑，對(duì)概念作逐字

35、逐句的界定，規(guī)定內(nèi)涵，具有抽象性和嚴(yán)密性?！霰硐罄弥庇^形象為工具，象征性地代表概念，在回憶、加工時(shí)顯得簡(jiǎn)潔明快，約束較小。,■定義和表象互相影響，互相促進(jìn)。 ■理想的思考過(guò)程應(yīng)當(dāng)既借助于表象這個(gè)直觀思維的媒介，減輕思維的負(fù)擔(dān)，又參考定義，避免或糾正可能發(fā)生的錯(cuò)誤。 ■在學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)這樣一個(gè)特殊的“學(xué)術(shù)場(chǎng)合”中，合理地利用兩類(lèi)工具，平衡表象與定義之間的關(guān)系，能使學(xué)習(xí)輕松、有效。,體現(xiàn)多元表征的教學(xué)建議,第一，從均分物體的視覺(jué)化表征

36、轉(zhuǎn)換為言語(yǔ)化表征時(shí)，注意體現(xiàn)言語(yǔ)化表征的發(fā)展層次：口頭通俗言語(yǔ)（如，把一個(gè)物體平均分成兩份，每一份是這個(gè)物體的“一半”，也就是平均分成的兩份中的一份）→書(shū)面精煉語(yǔ)言（二等分，取其一）→數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言（二分之一）→數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言（1/2）。,第二，結(jié)合情境，充分體現(xiàn)作為“量”的分?jǐn)?shù)——帶單位（如，三分之一的圓）與作為“比率”的分?jǐn)?shù)——不帶單位（如，三分之一）之間的轉(zhuǎn)換過(guò)程，并引導(dǎo)學(xué)生參與這個(gè)過(guò)程（當(dāng)然不能直接提“量”的分?jǐn)?shù)與“比率”的分?jǐn)?shù)），

37、因?yàn)檫@是從視覺(jué)化表征轉(zhuǎn)向言語(yǔ)化表征的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。,第三，關(guān)注操作活動(dòng)后面的數(shù)學(xué)思考，促成學(xué)生在分?jǐn)?shù)的視覺(jué)化表征與言語(yǔ)化表征之間的轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯。因?yàn)椋词箤W(xué)生沒(méi)有接觸過(guò)分?jǐn)?shù)，也能順利地完成“折一折”、“涂一涂”的操作活動(dòng)。但是只有在操作活動(dòng)與“幾等分，取其一”所表達(dá)的“幾分之一”之間建立了轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯關(guān)系，學(xué)生才能從情境走向數(shù)學(xué)，把活動(dòng)與思考數(shù)學(xué)結(jié)合起來(lái)。,第四，允許學(xué)生用不同的方式表征分?jǐn)?shù)。盡管學(xué)習(xí)符號(hào)化的表達(dá)是一個(gè)的目標(biāo)，但是達(dá)到這一目

38、標(biāo)需要通過(guò)視覺(jué)化表征的轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯才能實(shí)現(xiàn)。而且，表征之間的相互參照是兩種表征不斷發(fā)展——精致的需要，自然成為建立分?jǐn)?shù)恰當(dāng)圖式的必要條件。,數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)要求同一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象必須具有敘述性和描述性兩類(lèi)本質(zhì)不同的表征，這也是對(duì)“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)刻畫(huà)?！皵?shù)形結(jié)合”反映的就是言語(yǔ)化表征與視覺(jué)化表征在概念理解與運(yùn)用過(guò)程中的精致、轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯，反映的就是視覺(jué)化表征的直覺(jué)啟示與言語(yǔ)化表征的邏輯抽象的整合。因此，從教學(xué)的角度看，我們更應(yīng)深入