基于臨界點理論的次二次四階半線性常微分方程周期解的存在性研究

1、摘要微分方程已成為研究自然科學和社會科學的一個強有力工具，在科技和經(jīng)濟的發(fā)展過程中，越來越多的實際課題都可以建立關(guān)于四階或者更高階的常微分方程數(shù)學模型．經(jīng)典的F i s h e l ．- K 0 1 m o g o r o v ( F K ) ?方程為絲：墊+ 甜o ．a(chǎn) t a #1 9 8 8 年，D e e a n dV a nS a a r l o o s 在研究雙穩(wěn)態(tài)物理系統(tǒng)時建立了E x t e n d e d F i s

2、h e r - K o l m o g o r o v ( E F K ) 圓方程絲8：一7粵+魯+“。∥o．t O t O t 一= 一y 一+ 一上“ 一f 』。Ⅳ、¨7 4 2 一 ¨ ’／ ?！? 9 7 7 年，S w i f ta n d H o h e n b e r g 在研究流體的不穩(wěn)定性時建立了S w i f t - H o h e n b e r g ( S H ) ∞1 方程- c 勾u =

3、k u - 8 t ( ·+ 甜8 t 滬礦肛R ． I 2 ／ ‘’。?人們感興趣的是以上方程的駐波解，如果引入適當?shù)淖兞孔儞Qw ( t ，x ) = “( f ) e ‘h ，k ∈R ，上述方程可簡化為下述四階常微分方程∥) 一p u ”一￡f - - i i 3 ：0 ．當P > o 時，方程即為E F K 方程；當p0c o r r e s p o n d s t o E F K e q u a t i o n

4、 a n d ，) < 0 t o t h e S He q u a t i o n ．M a n y p r o f o u n dr e s u l t sa b o u tm a n y o t h e rt y p e so f f o u r t h ．．o r d e rn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s h a v eb e e n

5、o b t a i n e d i n t h e u s e o ft h em e t h o d s o f t h ec r i t i c a lp o i n tt h e o r yd e v e l o p e d i nr e c e n td e c a d e s ．T o b e m o r e s p e c i f i c ．w e s h a l l m a i n l y d i s c u s s t

6、h e e x i s t e n c e o f2 T —p e r i o d i c s o l u t i o n s f o r m o r e g e n e r a l f o r t h —o r d e r s e m i —l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s甜( 4 ) + A u ”+ B u —K 。( f ，“) ：0W h e r e 彳，B

7、 a r ec o n s t a n t s ，v ( t ，“) ∈C 1 ( [ 0 ，丁] ×R ，月) s a t i s f i e s( I )2 V ( t ，“) 一甜圪( ≠，M ) - - ) ．0 0 ，I U l 斗∞，te [ O ，刀，o r 2 V ( t ，“) 一“圪( f ，甜) —} 一。。，I 甜f —} ∞，t ∈[ o ，丁] ．F i r s t l y ，w ew i l lc