基于臨界點理論的次二次四階半線性常微分方程周期解的存在性研究.pdf_第1頁
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文檔簡介

1、微分方程已成為研究自然科學(xué)和社會科學(xué)的一個強(qiáng)有力工具,在科技和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展過程中,越來越多的實際課題都可以建立關(guān)于四階或者更高階的常微分方程數(shù)學(xué)模型.
   經(jīng)典的Fisher-Kolmogorov(FK)[1]方程為(e)u/(e)t=(e)2u/(e)x2+u-u3.
   1988年,DeeandVanSaarloos在研究雙穩(wěn)態(tài)物理系統(tǒng)時建立了ExtendedFisher-Kolmogorov(EFK)[2]方程(

2、e)u/(e)t=-γ(e)4u/(e)t4+(e)2u/(e)t2+u-u3,γ>0.
   1977年,SwiftandHohenberg在研究流體的不穩(wěn)定性時建立了Swift-Hohenberg(SH)[3]方程(e)u/(e)t=ku-(1+(e)(e)t2)2u-u3,k∈R.
   人們感興趣的是以上方程的駐波解,如果引入適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Qw(t,x)=u(t)eikx,k∈R,上述方程可簡化為下述四階常微分方程

3、u(4)-pu″-u-u3=0.
   當(dāng)p>0時,方程即為EFK方程;當(dāng)p<0時,方程則為相應(yīng)的SH方程.
   本文主要是對下述更一般的四階半線性常微分方程u(4)+Au″+Bu-Vu(t,u)=0(Ⅰ)2T-周期解的存在性進(jìn)行研究,其中A,B是常數(shù),V(t,u)∈C1([0,T]×R,R)具有以下性質(zhì):(H0)V(t,0)=0,V(t+2T,u)=V(t,u),V(t,-u)=V(t,u),(V)t∈[0,T],u

4、∈R.(H1)2V(t,u)-uVu(t,u)→-∞,|u|→∞,t∈[0,T],或2V(t,u)-uVu(t,u)→∞,|u|→∞,t∈[0,T].假設(shè)(u)=(u)(t)為邊值問題{u(4)+Au″+Bu-Vu(t,u)=0,0<t<T,(P)u(0)=u(T)=0,u″(0)=u″(T)=0.的解,那么在區(qū)間[-T,T]上作奇擴(kuò)充(u)=(u)(t){u(t),0≤t≤T,-u(-t),-T≤t≤0.
   根據(jù)條件(H0

5、),(u)=(u)(t)在R上進(jìn)行2T周期擴(kuò)充即可得到方程(Ⅰ)的2T-周期解.
   為了研究邊值問題(P)的解的存在性,我們將其轉(zhuǎn)化為討論泛函I(u;T)=∫T01/2(u″2-Au′2+Bu2)dt-∫T0V(t,u)dt的非平凡臨界點的存在性,研究空間為X(T)=H2(0,T)∩H10(0,T).此泛函的臨界點即為邊值問題(P)的經(jīng)典解.
   本文內(nèi)容安排如下:第一章是引言,介紹了本文的研究背景、研究內(nèi)容和相關(guān)

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