四階微分方程Dirichlet邊值問題解的存在性.pdf

1、微分方程Dirichlet邊值問題是微分方程邊值問題中比較典型的一類問題，對這一類型的問題，很多文獻用拓撲度理論和不動點指數(shù)理論(參見文獻[4-8，30-32])，或用Morse理論(參見文獻[16-23])，或用臨界點理論（參見文獻[9]，[13-15，24-29]）為工具已經(jīng)獲得許多有關(guān)解的存在性及多解性的結(jié)果.
　　文[9]中將臨界點理論運用到一族超二次的二階Hamiltonian系統(tǒng)中，通過文獻[10]中Luan和Mao得

2、到的局部環(huán)繞定理得到了方程至少存在一個非平凡的周期解.受文[9]的啟發(fā)，本文第一章考慮了如下四階微分方程Dirichlet邊值問題:｛u(4)-(B(t)u')'+A(t)u=▽F(t,u),t∈[0,1]，(1.1.1)u(0)=u(1)=u"(0)=u"(1)=0,其中A(t)，B(t)是N×N對稱陣，A(·)連續(xù)，B(·)連續(xù)可微且(B(t)x，x)≥|x|2，(t，x)∈[0,1]× RN.F:[0，1]×RN→R滿足條件:

3、r>　　(A)對任意x∈RN，F(xiàn)(·，x)是可測函數(shù)，對幾乎處處的t∈[0，1]，F(xiàn)(t，·)是連續(xù)可微函數(shù)，且存在a∈C（R+，R+），b∈L1([0，1]，R+)，使得|F(t,x)|≤a(|x|)b(t),|▽F(t,x)|≤a(|x|)b(t),x∈RN,a.e.t∈[0,1].運用文[10]中的局部環(huán)繞定理的方法，得到了如下主要結(jié)果:
　　定理設(shè)F滿足(A)和下列假設(shè):
　　(F1)lim|x|→∞F(t,x)/|

4、x|2=+∞，對幾乎處處的t∈[0，1]一致成立;
　　(F2)lim|x|→0 F(t,x)/|x|2=0，對幾乎處處的t∈[0，1]一致成立;
　　(F3)存在λ＞2, d1＞0，使得lim sup|x|→∞ F(t,x)/|x|λ≤d1，對幾乎處處的t∈[0，1]一致成立;
　　(F4)存在β＞λ-1，d2＞0，使得lim inf|x|→∞(▽F(t,x),x)-2F(t,x)/|x|β≥d2，對幾乎處處的t∈[

5、0，1]一致成立;
　　(F5)F(t,x)≥0,(t,x)∈[0,1]×RN.
　　若0是d4/dt4-d/dt(B(t)d/dt）+A(t)帶有Dirichlet邊值條件的特征值，那么問題(1.1.1)至少有一個非平凡的解.
　　文[14]運用了臨界點理論和Morse理論作為工具對Kirchhoff型方程進行了研究，并且得到了有關(guān)解的存在性及多解性結(jié)果.文[13]中運用了臨界點理論的方法對一族帶有Dirichlet

6、邊值問題的Kirchhoff型方程進行研究且得到了弱解的存在性及多解性.文[12]特別用了Krasnoselskill類方法對p-Kirchhoff型方程的解的存在性和多解性進行了研究.本文第二章受文[12]和文[13]的啟發(fā)研究了如下四階帶有Dirichlet邊值問題的Kirchhorff型方程:｛-M(‖u‖2)u(4)=f(x，u），x∈[0,1]，(2.1.1)u(0)=u(1)=u"(0)=u"(1)=0,其中M:R+→R+及

7、f:[0，1]×R→R是連續(xù)函數(shù)且滿足以下條件:
　　(M)Atα≤M(t)≤Btα，t∈R+，其中A，B，α是正常數(shù);
　　(f1)|f(x，t)|≤c(|t|q-1+1)，(x，t)∈[0,1]×R，其中c是正常數(shù)，q∈(2，2*)且α＞q+1/2;
　　(f2)lim t→0 f(x,t)/t=+∞，對幾乎處處的x∈[0，1]一致成立;
　　(f3) f(x，t)=-f(x,-t),(x,t)∈[0,1]×