幾類非線性四階常微分方程邊值問題的正解.pdf

1、非線性泛函分析為當(dāng)今數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其研究具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，其中主要包括拓?fù)涠壤碚?、變分方法、臨界點(diǎn)理論、錐理論等諸多內(nèi)容、處理這些非線性的問題主要是處理這些非線性的積分方程和微分方程.對(duì)非線性泛函分析的研究，在國(guó)內(nèi)外也取得了豐富的成果.1912年L.E.J.Brouwer建立了有限維空間的拓?fù)涠龋˙roawer度），1934年J.Leray將這一成果推廣到Banach空間的全連續(xù)場(chǎng)，建立了Leray-schauder度.E.Ro

2、the，M.A.Krasnoselskii,P.H.Rabinowitz，H.Amann，K.Deimling等對(duì)非線性泛函分析及其應(yīng)用也進(jìn)行了深入的研究，國(guó)內(nèi)張恭慶教授、郭大鈞教授、孫經(jīng)先教授等在非線性泛函分析的研究中，取得了很多深刻的結(jié)果.他們的研究成果可以應(yīng)用于控制理論、最優(yōu)化理論、計(jì)算數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)等等許多領(lǐng)域.
　　四階非線性微分方程組邊值問題是微分方程問題非常重要的組成部分.對(duì)它的研究有著非常重要的應(yīng)用價(jià)值和實(shí)際意義，

3、為許多學(xué)者關(guān)注，也取得了豐碩的研究成果.大多數(shù)的這些結(jié)果是通過將四階邊值問題轉(zhuǎn)化成二階邊值問題，然后利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論、拓?fù)涠壤碚?、錐理論、上下解等方法得出問題的正解.
　　近年來，對(duì)四階非線性微分方程組邊值問題尤其是正解的存在性的研究逐漸增多,但最常用的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理有著一定的限制條件，它的適用范圍有著局限性(、)因此，存在著許多亟待解決的問題.本文是在借鑒前人成果的基礎(chǔ)上，將一些條件進(jìn)行改進(jìn)和完善，從而推廣了這些結(jié)果.

4、　　利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，本文深入研究了幾類四階非線性微分方程組邊值問題的正解的存在性，共分為四章:
　　在第一章中，我們研究一個(gè)四階積分方程邊值問題正解的存在性，{ u(4)（t）=f(t，u(t))，u(0)=∫10u(t)dα1(t)、u(1)=∫10u(t)dβ1(t)，u"(0)=∫10u"(t）dα2(t），u"(1)=∫10u"(t)dβ2(t),其中f∈C（[0,1]×R+，R+），αi≥0，βi≥0，αi和βi是[

5、0,1]上的嚴(yán)格遞增函數(shù).本文的亮點(diǎn)在于，方程(1.1.1)的Green函數(shù)用傳統(tǒng)的求法比較困難.我們通過使用方程(1.1.2)中的Green函數(shù)，轉(zhuǎn)化建立(1.1.1)的Green函數(shù).然后我們使用先驗(yàn)估計(jì)得到相關(guān)的積分恒等式和不等式，接著使用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理去證明方程(1.1.1)正解的存在性.
　　在第二章中，我們研究一個(gè)四階微分方程組邊值問題正解和多重正解的存在性{ x(4)=f(t，x，x'，-x"，-x'''，y，y'，

6、-y"，-y''')，y(4)=g（t，x，x'，-x"，-x'''，y，y'，-y"，-y'''），x(0)=x'(1)=x"(0)=x'''(1)=0,y(0)=y'(1)=y"(0)=y'''(1)=0，其中f，g∈C（[0，1]×R8+，R+）（R+:=[0，∞））.本文的亮點(diǎn)在于，在獲得先驗(yàn)估計(jì)中凹函數(shù)的運(yùn)用，同時(shí)在獲得先驗(yàn)估計(jì)中非負(fù)矩陣的運(yùn)用，以及降階的方法.運(yùn)用文獻(xiàn)[31]中的方法，使用建立的積分恒等式和不等式，來得出方程

7、(1.2.1)中正解和多重正解的存在性.
　　在第三章中，我們用不同的方法研究一個(gè)四階邊值問題正解和多重正解的存在性{ w(4)=f（t，w，w'，-w"，-w'''，z，z'，-z"，-z'''），z(4)=g(t,w，w',-w"，-w'''，z，z'，-z"，-z'''),w(0)=w'(1)=w"(0)=w'''(1)=0，z(0)=z'(1)=z"(0)=z'''(1)=0,其中f，g∈C（[0，1]×R8+，R+）(R

8、+:=[0,∞））.本章的主要困難在于，在處理方程組(1.3.1)中，存在奇數(shù)階導(dǎo)數(shù)，尤其是非線性項(xiàng)f，g.為了克服這個(gè)困難，我們采用降階的方法，把(1.3.1)轉(zhuǎn)化成一階積分微分方程組初值問題.然后通過文獻(xiàn)[49]中的方法，建立一些相關(guān)參數(shù)的線性積分算子，結(jié)合先驗(yàn)估計(jì)，使用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，來證明方程組(1.3.1)中正解和多重正解的存在性.
　　在第四章中，我們研究與第三章相同的方程但是邊界條件不同的方程組邊值問題正解和多重正解

9、的存在性{ w(4)=f(t，w，w',-w"，-w'''，z，-z',-z"，z'''),z(4)=g（t，w，w'，-w"，-w'''，z，-z',-z",z'''），w(0)=w'(1)=w"(0)=w'''(1)=0，z(1)=z'(0)=z"(1)=z'''(0)=0,其中f，g∈C（[0，1]×R8+，R+）（R+:=[0，∞））.與第三章相比，本章含有不同的邊值條件和一階導(dǎo)數(shù)的非線性項(xiàng).我們首先采用與第三章相同的降階方法，