概率論第7-10章課后習(xí)題答案

1、習(xí)題七 習(xí)題七1.設(shè)總體 X 服從二項(xiàng)分布 b（n，p） ，n 已知，X1，X2，…，Xn 為來自 X 的樣本，求參數(shù) p 的矩法估計(jì).【解】 【解】 因此 np= 1 ( ) , ( ) , E X np E X A X ? ? ? X所以 p 的矩估計(jì)量 ? X p n ?2.設(shè)總體 X 的密度函數(shù)f（x,θ）= 2 2 ( ), 0 ,0, .x x ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 中中X1，

2、X2，…，Xn 為其樣本，試求參數(shù)θ的矩法估計(jì).【解】 【解】2 30 2 2 02 2 ( ) ( )d , 2 3 3x x E X x x x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?令 E(X)=A1= ,因此 = X 3? X所以θ的矩估計(jì)量為 ^3 . X ? ?3.設(shè)總體 X 的密度函數(shù)為 f（x，θ） ，X1，X2，…，Xn 為其樣本，求θ的極大似然估計(jì).（1） f（x，θ

3、）= , 0,0, 0.e x xx? ? ? ? ?? ? ?（2） f（x，θ）=1, 0 1,0, .x x ? ? ? ? ? ?? ? 中中【解】 【解】 （1） 似然函數(shù) 11 1( , ) e e enii in n xx n nii iL f x?? ? ? ? ? ??? ?? ??? ? ? ? ?1ln lnniig L n x ? ??? ? ? ?由 知1d dln 0 d dniig L n x ? ? ?

4、?? ? ? ? ?1?niinx????3且 , ? 2X ? ? ? ( ) 2 ( ) 2 ( ) E E X E X ? ? ? ? ?所以θ的矩估計(jì)值為 且 是一個無偏估計(jì). ? 2 2 0.6 1.2 x ? ? ? ? ? ? 2X ? ?(2) 似然函數(shù) ,i=1,2,…,8.8 811 ( , ) iiL f x ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?顯然 L=L(θ)↓(θ>0)，那么 時，L=L(θ)最

5、大,1 8 max{ } i i x ?? ? ?所以θ的極大似然估計(jì)值 =0.9. ? ?因?yàn)?E( )=E( )≠θ,所以 = 不是θ的無偏計(jì). ? ?1 8 max{ } i i x? ?? ?1 8 max{ } i i x? ?6.設(shè) X1，X2，…，Xn 是取自總體 X 的樣本，E（X）=μ，D（X）=σ2，=k 2 ? ?,問 k 為何值時 為σ2 的無偏估計(jì).1211( )ni iiX X???? ?2 ? ?【解】 【

6、解】令 i=1,2,…,n-1, 1 , i i i Y X X ? ? ?則 21 ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 2 , i i i i E Y E X E X D Y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?于是 12 2 2 211? [ ( )] ( 1) 2 ( 1) ,niiE E k Y k n EY n k ? ???? ? ? ? ? ?那么當(dāng) ,即 時, 2 2

7、 ? ( ) E ? ? ? 2 2 2 ( 1) n k ? ? ? ?有 1 . 2( 1) k n ? ?7.設(shè) X1，X2 是從正態(tài)總體 N（μ，σ2）中抽取的樣本1 1 2 2 1 2 3 1 22 1 1 3 1 1 ? ? ? ; ; ; 3 3 4 4 2 2 X X X X X X ? ? ? ? ? ? ? ? ?試證 都是μ的無偏估計(jì)量，并求出每一估計(jì)量的方差. 1

8、 2 3 ? ? ? , , ? ? ?【證明】 【證明】 （1） 1 1 2 1 22 1 2 1 2 1 ? ( ) ( ) ( ) , 3 3 3 3 3 3 E E X X E X E X ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 2 1 21 3 ? ( ) ( ) ( ) 4 4 E E X E X ? ? ? ? ?3 1 21 1 ? ( ) ( ) ( ) , 2 2 E E X E X ?