數(shù)學(xué)分析試題庫--證明題--答案

1、數(shù)學(xué)分析題庫（ 數(shù)學(xué)分析題庫（1-22 1-22 章） 章）五．證明題 五．證明題1．設(shè) A，B 為 R 中的非空數(shù)集，且滿足下述條件：（1）對任何 有 ； B b A a ? ? , b a ?（2）對任何 ，存在 ，使得 . 0 ? ? B y A x ? ? , ? ? ? x Y證明： . inf sup B A ?證 由（1）可得 .為了證 ，用反證法.若 ，設(shè) B A inf sup ? B A inf sup ? B A

2、 inf sup ?，使得 . B y A x A B ? ? ? ? ? , , sup inf 0 ? 0 ? ? ? x y2.設(shè) A，B 是非空數(shù)集，記 ，證明： B A S ? ?（1） ； ? ? B A S sup , sup max sup ?（2） ? ? B A S inf , inf min inf ?證（1）若 A，B 中有一集合無上界，不妨設(shè) A 無上界，則 S 也是無上界數(shù)集，于是，結(jié)論成立.若 A，B 都是

3、有上界數(shù)集，且 ，現(xiàn)設(shè)法證 ?? ? ?? ? S A sup , sup A B sup sup ?明 : sup sup A S ?（ⅰ） ，無論 或 ，有 S x? ? A x? B x? ; sup A x ?（ⅱ） 于是 0 0 0, , sup , x A x A ? ? ? ? ? ? > > , 0 S x ?0 sup . x A >同理可證（2）.3. 按 定義證明 N ? ?352 32 5 li

4、m 22? ?? ?? ? nn nn證 352 32 522? ?? ?nn n) 2 3 ( 34 32 ?? ? nn≤（n>4） 2 2 34nn?， n 32 ?（3）確定 的鄰域 0<|x-1|< ，并估計 在此鄰域內(nèi)的上界：取 ，當 1 0 ? x ? ) (x ? 21 ? ?0<|x-1|< 時，可得 21≤ ， 2 3 ? x 25

5、 1 | 1 | 3 ? ? ? x， 43 | ) 1 ( 1 | | 2 |2 2 ? ? ? ? ? x x x于是. 31043 25| 2 || 2 3 |2 ? ? ??x xx（4）要使 ≤ ，只要取 .于是應(yīng)取 | 1 | | 2 || 2 3 | | 3 ) ( | 2 ? ?? ? ? x x xx x f ? ? ? | 1 | 310 x ? 103 | 1 | ? ? x，? ? ?? ? ? ? 103 ,

6、21 min ? ?當 0<|x-1|< 時， . ? ? ? ? ? | ) 3 ( ) ( | x f6 用 方法驗證： M ? ?. 211lim2 ? ?? ??? ? x xxx解 ) 1 ( 21211222 x xx xx xx? ?? ? ? ? ?? ? ??? ?? ?2 2 ) 1 ( 21x x ? ??注意到當 時，上式可以充分小，但是直接解不等式 ? ? n， ? ?? ?2 2 ) 1 (

7、21x x希望由此得到 x<-M，整個過程相當繁復(fù)，現(xiàn)用放大法簡化求 M 的過程.因為由， ? ? ? ? ? ?? ?2 2 2 2 81) 2 (121) 1 ( 21x x x x便可求得 ，考慮到 所需要的是 .于是 ， ? 81 2 ? x ?? ? x ? 81 ? ? x ? ? 81 , 0 ? ? ? ? M當 x<-M 時，. ? ? ? ?? ? ??? ?? ? 2112 x xx7 設(shè) ，在 某鄰