數(shù)學分析課后習題答案14

1、§4 具有某些特征的函數(shù) 具有某些特征的函數(shù) 1、證明: 2 1 ) ( xx x f + = 是 R 上的有界函數(shù). 證: 利用不等式 2 1 2 x x + ≤ 有 2112211 ) ( 2 2 ≤ + = + = xxxx x f 對一切的 ) , ( ∞ + ?∞ ∈ x 都成立 故 2 1 ) ( xx x f + = 是 R 上的有界函數(shù) 2、⑴證明陳述無界函數(shù)的定義; ⑵證明: 2 1 ) ( x x f =

2、為 ) 1 , 0 ( 上的無界函數(shù). ⑶舉出函數(shù) f 的例子,使 f 為閉區(qū)間 ] 1 , 0 [ 上的無界函數(shù). 解: ⑴設 ) (x f 在 D 上有定義,若對任意的正數(shù) M ,都存在 D x ∈ 0 ,使 M x f > ) ( 0 ,則稱函數(shù) ) (x f 為 D 上的無界函數(shù). ⑵對任意的正數(shù) M ,存在 ) 1 , 0 ( 110 ∈ + = M x ,使 M M x x f > + = = 1 1 ) ( 2

3、00所以 2 1 ) ( x x f = 為 ) 1 , 0 ( 上的無界函數(shù). ⑶設? ?? ??=∈ =0 , 0] 1 , 0 ( , 1) (xx x x f .下證 ) (x f 為無界函數(shù) 0 > ?M , ] 1 , 0 ( 110 ∈ + = ? M x ,使得 M M x f > + = 1 ) ( 0所以? ?? ??=∈ =0 , 0] 1 , 0 ( , 1) (xx x x f 是閉區(qū)間[0,1]上

4、的無界函數(shù) . 3、 證明下列函數(shù)在指定區(qū)間上的單調性: ⑴ 1 3 ? = x y 在 ) , ( ∞ + ?∞ 內嚴格遞增; 故 1 2 ) ( 2 4 ? + = x x x f 是偶函數(shù). (2)因 ), ( ) sin ( ) sin( ) ( ) ( x f x x x x x f ? = + ? = ? + ? = ? 故 x x x f sin ) ( + = 是奇函數(shù). (3)因 ) ( ) ( ) (2 2 2 )

5、( 2 x f e x e x x f x x = = ? = ? ? ? ? ,故2 2 ) ( x e x x f ? = 是偶函數(shù). (4) ) ( ) 1 lg( 11 lg ) 1 lg( ) ) ( 1 lg( ) ( 222 2 x f x x x x x x x x x f ? = + + ? = + + = + + ? = ? + + ? = ?故 ) 1 lg( ) ( 2 x x x f ? + = 是奇函數(shù). 5

6、、 求下列函數(shù)的周期: (1) x x f 2 cos ) ( = ;(2) x x f 3 tan ) ( = ;(3) 3 sin 2 2 cos ) ( x x x f + = . 解 (1) ) 2 cos 1 ( 21 cos ) ( 2 x x x f + = = ,而 x 2 cos 1+ 的周期是π ,所以 x x f 2 cos ) ( = 的周期是π . (2) ) 3 tan( x 的周期是 3π ,所以 x x

7、 f 3 tan ) ( = 的周期是 3π . (3) 2 cos x 的周期是 π 4 , 3 sin x 的周期是 π 6 ,所以 3 sin 2 2 cos ) ( x x x f + = 的周期是 π 12 . 6、 設 ) (x f 為定義在 ] , [ a a ? 上的任一函數(shù),證明: (1) ] , [ ), ( ) ( ) ( a a x x f x f x F ? ∈ ? + = 為偶函數(shù); (2) ] , [

8、), ( ) ( ) ( a a x x f x f x G ? ∈ ? ? = 為奇函數(shù); (3) f 可表示為某個奇函數(shù)與某個偶函數(shù)之和. 證 (1)由已知函數(shù) ) (x F 的定義域關于原點對稱且 ], , [ a a x ? ∈ ?) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x F x f x f x f x f x F = ? + = + ? = ? .故 ) (x F 為 ] , [ a a ? 的偶函數(shù). (2) 由已