函數(shù)奇偶性、對稱性、周期性知識點(diǎn)總結(jié)

1、抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論一.概念概念:抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù)如函數(shù)的定義域解析遞推式特定點(diǎn)的函數(shù)值特定的運(yùn)算性質(zhì)等它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn)也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個銜接點(diǎn)由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達(dá)式作為載體因此理解研究起來比較困難，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識靈活運(yùn)用的能力1、

2、周期函數(shù)的定義：、周期函數(shù)的定義：對于定義域內(nèi)的每一個，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，()fxxT()()fxTfx??則稱函數(shù)具有周期性，叫做的一個周期，則（）也是()fxT()fxkT0kZk??()fx的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期。()fx分段函數(shù)的周期：分段函數(shù)的周期：設(shè)是周期函數(shù)，在任意一個周期內(nèi)的圖像為C:)(xfy?)(xfy?。把個單位即按向量??abTbax???)()(abKKTxxfy???軸平移沿在其

3、他周期的圖像：)()0(xfykTa??平移，即得。??bkTakTxkTxfy?????)(?????????????bkTakTx)(bax)()(kTxfxfxf2、奇偶函數(shù)：、奇偶函數(shù)：設(shè)??????baabxbaxxfy)(??????或①若為奇函數(shù)；則稱)()()(xfyxfxf????②若。為偶函數(shù)則稱)()()(xfyxfxf???分段函數(shù)的奇偶性分段函數(shù)的奇偶性3、函數(shù)的對稱性：、函數(shù)的對稱性：（1）中心對稱即點(diǎn)對稱：

4、）中心對稱即點(diǎn)對稱：①點(diǎn)對稱；關(guān)于點(diǎn)與)()22()(baybxaByxA??②對稱；關(guān)于與點(diǎn))()()(baybxaBybxaA????③成中心對稱；關(guān)于點(diǎn)與函數(shù))()2(2)(baxafybxfy????④成中心對稱；關(guān)于點(diǎn)與函數(shù))()()(baxafybxafyb??????⑤成中心對稱。關(guān)于點(diǎn)與（函數(shù))(0)22(0)baybxaFyxF????（2）軸對稱：對稱軸方程為：）軸對稱：對稱軸方程為：。0???CByAx①關(guān)于))(

5、2)(2()()(2222BACByAxByBACByAxAxByxByxA?????????與點(diǎn)4、互為反函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱)(xfy?1()yfx??yx?5.5.函數(shù)函數(shù)與圖象關(guān)于直線圖象關(guān)于直線對稱對稱)(xafy??)(xbfy??2abx??推論1:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱)(xafy??)(xafy??0?x推論2:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱)(xfy?)2(xafy??ax?推論3:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱)(xfy??

6、)2(xafy??ax??（三）（三）抽象函數(shù)的對稱性與周期性抽象函數(shù)的對稱性與周期性1、抽象函數(shù)的對稱性、抽象函數(shù)的對稱性性質(zhì)性質(zhì)1若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a軸對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）f(a＋x)＝f(a－x)（2）f(2a－x)＝f(x)（3）f(2a＋x)＝f(－x)性質(zhì)性質(zhì)2若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)

7、（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)為偶（或奇）函數(shù)分別為性質(zhì)1（或2）當(dāng)a＝0時的特例。2、復(fù)合函數(shù)的奇偶性、復(fù)合函數(shù)的奇偶性定義定義1、若對于定義域內(nèi)的任一變量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，則復(fù)數(shù)函數(shù)y＝f[g(x)]為偶函數(shù)。定義定義2、若對于定義域內(nèi)的任一變量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，則復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)。說明：說明：（1）復(fù)數(shù)函數(shù)）復(fù)數(shù)函數(shù)f[g(x)]f[g(x)

8、]為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則f[g(f[g(－x)]x)]＝f[g(x)]f[g(x)]而不是而不是f[f[－g(x)]g(x)]＝f[g(x)]f[g(x)]，復(fù)合函數(shù)，復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]f[g(x)]為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則f[g(f[g(－x)]x)]＝－＝－f[g(x)]f[g(x)]而不是而不是f[f[－g(x)]g(x)]＝－＝－f[g(x)]f[g(x)]。（2）兩個特例：）兩個特例：y＝f(xf(x＋a)a)為偶函

9、數(shù)，則為偶函數(shù)，則f(xf(x＋a)a)＝f(f(－x＋a)a)；y＝f(xf(x＋a)a)為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則f(f(－x＋a)a)＝－＝－f(af(a＋x)x)（3）y＝f(xf(x＋a)a)為偶（或奇）函數(shù)，等價于單層函數(shù)為偶（或奇）函數(shù)，等價于單層函數(shù)y＝f(x)f(x)關(guān)于直線關(guān)于直線x＝a軸對稱（或關(guān)于點(diǎn)（軸對稱（或關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對稱））中心對稱）3、復(fù)合函數(shù)的對稱性、復(fù)合函數(shù)的對稱性性質(zhì)性質(zhì)3復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋