函數(shù)的周期性和對稱性

1、函數(shù)的性質(zhì) --對稱性、周期性,(1)若 關(guān)于直線 對稱,一、函數(shù)的對稱性,若函數(shù) 上任意一點關(guān)于某直線（或某點）的對稱點仍在 上，就稱 關(guān)于某直線（或某點）對稱，這種對稱性稱為自對稱。,(2)若 關(guān)于點 對稱,兩個恒等式的形式均不唯一，要記住本質(zhì)構(gòu)造.,定理：若函數(shù) 滿足

2、，那么函數(shù)以 為對稱軸。,cor.若函數(shù) 滿足 ，那么函數(shù)以 為對稱軸。,即：,定理：若函數(shù) 滿足 ，那么函數(shù)關(guān)于點 對稱。,cor.若函數(shù) 滿足 ，那么函數(shù)關(guān)于點

3、對稱 。,即：,2)若 ,則函數(shù) 關(guān)于______________對稱;,注：1.當(dāng) 時,函數(shù)關(guān)于直線 對稱,2.當(dāng) 時,函數(shù)關(guān)于點 對稱,偶函數(shù)----特殊的軸對稱函數(shù),奇函數(shù)----特殊的點對稱函數(shù),一般地,1)若 ,則函數(shù) 關(guān)于 對稱.,f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),f(

4、x)=f-1(x),f(x)=f(2m-x),f(x)=2n-f(2m-x),Ex:若函數(shù),12,關(guān)于x=0對稱,例1：已知 的圖象,畫出 和 的圖象，并指出兩者的關(guān)系。,,,若函數(shù) 上任意一點關(guān)于某直線（或某點）的對稱點在 上，就稱 和 關(guān)于某直線（或某點）對稱，這種對稱性稱為互對稱。,一般地, 函數(shù)

5、 和 關(guān)于_______對稱.,記憶：令x+a=-x+b，可求得對稱軸.,y=-f(-x),y=-f(x),y=f(-x),y=f-1(x),y=-f-1(-x),y=f(2m-x),y=2n-f(x),y=2n-f(2m-x),例3：設(shè) 的圖象與 的圖象關(guān)于直線 對稱，求 的解析式。,例2:將函數(shù) 右移2個單位得到圖像C1，有C1和C2的圖像

6、關(guān)于點 對稱，求C2的函數(shù)解析式。,利用對稱性求解析式,（一）、互對稱問題常用軌跡代入法求解析式,例4：設(shè) 圖象關(guān)于直線 對稱,在 上， 求當(dāng) 時 的解析式。,例5：設(shè) 是定義在R上的偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于直線 對稱，已知 時,函數(shù) 求當(dāng) 時 的解析式,(二)、自對

7、稱問題常聯(lián)系恒等式進(jìn)行x的變換,關(guān)于直線 對稱,關(guān)于直線 對稱,關(guān)于 對稱,關(guān)于點 對稱,常見函數(shù)的對稱性,一個函數(shù)本身的對稱性稱為自對稱,分成 關(guān)于某直線對稱或某點對稱.,原點,二、函數(shù)的周期性,理解?（1）.是否所有周期函數(shù)都有最小正周期？,1.定義:對于函數(shù) ，若存在非零常數(shù)T，使得 恒成立，則稱

8、 為周期函數(shù)，T是函數(shù)的一個周期。若所有周期中存在一個最小正數(shù)，則稱它是函數(shù)的最小正周期。,(2).若T是 的一個周期，則kT（k是非零整數(shù)）均是 的周期嗎？ (3)周期函數(shù)的定義域D可以為閉區(qū)間嗎？,T= (a-b),思考：若 ,函數(shù) 具有什么性質(zhì)？,注：除了定義式是充要條件外，其余均為充分非必要條件,2、常見的判斷周期的恒等式(可用遞推法證明),3.

9、函數(shù)的對稱性與周期性的幾個常見性質(zhì)。性質(zhì)1.若函數(shù) 以 為對稱軸，那么此函數(shù)是周期函數(shù)，周期T=,,,,,,X=a,X=b,,,,,,,,性質(zhì)2.若函數(shù) 以 為對稱點，那么此函數(shù)是周期函數(shù)，周期T=,假定,,,,(a,0),(b,0),,,,,,,,,,,,,性質(zhì)3.若函數(shù) 以 為對稱

10、點，以 為對稱軸，那么此函數(shù)是周期函數(shù)，周期 T=,假定,,,,,,X=b,(a,0),X,,Y,O,,,,,,,,,,,,練習(xí)1:定義在R上的函數(shù) 滿足且方程 有1001個根，則這1001個根的和？,4:如果 那么,3：如果 那么,2:函數(shù) 圖象關(guān)于點 對稱，則,5:(1)定義在R上偶函數(shù) 滿

11、足 則方程 在區(qū)間 上至少有( )個根。(2)將上題中的“偶函數(shù)”改成“奇函數(shù)”，其余條件不變，則在區(qū)間 至少有( )個根。,重要結(jié)論：若 奇，且周期為T，則必有,注：可用模擬圖，直觀明了,思考：若 周期為 ，又 關(guān)于 對稱，能否推出 是偶函數(shù)？

12、若能，能否嚴(yán)格證明？,練習(xí):1.若 為定義在R上的奇函數(shù)，且關(guān)于直線 對稱，問： 是否為周期函數(shù)？若是，求出它的一個周期。,2. 若 為定義在R上偶函數(shù)且滿足 問： 是否關(guān)于直線對稱？若是，請給出證明。,3：設(shè)奇函數(shù) ，且當(dāng) 則,,,,5：設(shè) 是定義在R上的偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于