同濟(jì)六版高數(shù)下教案

1、1第十章 第十章 重積分 重積分【教學(xué)目標(biāo)與要求】 【教學(xué)目標(biāo)與要求】1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分的中值定理。2.掌握二重積分的（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）計(jì)算方法。3.掌握計(jì)算三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算方法。4.會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等） 。【教學(xué)重點(diǎn)】 【教學(xué)重點(diǎn)】1.二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)） ；2.三重積分的（直角坐

2、標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算。3.二、三重積分的幾何應(yīng)用及物理應(yīng)用?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】 【教學(xué)難點(diǎn)】1.利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分；2.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分；3.物理應(yīng)用中的引力問(wèn)題。§10 10? 1 二重積分的概念與性質(zhì) 二重積分的概念與性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容：二重積分的概念及性質(zhì) 教學(xué)內(nèi)容：二重積分的概念及性質(zhì)重點(diǎn)難點(diǎn)：二重積分的概念及性質(zhì) 重點(diǎn)難點(diǎn)：二重積分的概念及性質(zhì)一、 一、引例 引例1? 曲頂柱體的體積 曲頂柱體的體積 V設(shè)有一

3、立體? 它的底面是 xOy 面上的閉區(qū)域 D? 其側(cè)面為母線平行于 z 軸的柱面? 其頂是曲面 z?f(x? y)非負(fù)連續(xù)? 稱為曲頂柱體? 若立體的頂是平行于 xoy 面的平面。體積=底面積 高 ?現(xiàn)在我們來(lái)討論如何計(jì)算曲頂柱體的體積? （i）分割： 分割：用任意曲線網(wǎng)把 D 分成 n 個(gè)小區(qū)域 ： ?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ? 分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線? 作母線平行于 z

4、軸的柱面? 這些柱面把原來(lái)的曲頂柱體分為 n 個(gè)細(xì)曲頂柱體? （ii）代替： 代替：在每個(gè)?? i 中任取一點(diǎn)(? i ? ? i)? 以 f (? i ? ? i)為高而底為?? i 的平頂柱體的體積為f (? i ? ? i) ??i (i?1? 2? ? ? ? ? n )? （iii）近似和： 近似和： 整個(gè)曲頂柱體體積 V 平面薄片的質(zhì)量 平面薄片的質(zhì)量: i i iniM ? ? ? ?? ? ?? ?

5、 ? ) , ( lim1 0二、二重積分的定義及可積性 二、二重積分的定義及可積性定義： 定義： 設(shè) f(x? y)是有界閉區(qū)域 D 上的有界函數(shù)? 將閉區(qū)域 D 任意分成 n 個(gè)小閉區(qū)域 ?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ? 其中?? i 表示第 i 個(gè)小區(qū)域? 也表示它的面積? 在每個(gè)?? i 上任取一點(diǎn)(? i? ?i)? 作和? i i inif ? ? ? ?? ? ) , (1如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中

6、的最大值?趨于零時(shí)? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域 D 上的二重積分? 記作 ? 即 ? d y x fD ?? ) , (? i i ini Df d y x f ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ) , ( lim ) , (1 0f(x? y)被積函數(shù)? f(x? y)d?被積表達(dá)式? d?面積元素? x? y 積分變量? D 積分區(qū)域? 積分和? 直角坐標(biāo)系中的面積元素 直角坐標(biāo)系中的面積元

7、素? 如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分 D? 那么除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外? 其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域? 設(shè)矩形閉區(qū)域??i 的邊長(zhǎng)為?xi 和?yi? 則??i??xi?yi? 因此在直角坐標(biāo)系中? 有時(shí)也把面積元素 d? 記作 dxdy? 而把二重積分記作dxdy y x fD ?? ) , (其中 dxdy 叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素? 二重積分的幾何意義 二重積分的幾何意義? 如果 f(x? y

8、)?0? 被積函數(shù) f(x? y)可解釋為曲頂柱體的在點(diǎn)(x? y)處的豎坐標(biāo)? 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積? 如果 f(x? y)是負(fù)的? 柱體就在 xOy 面的下方? 二重積分的絕對(duì)值仍等于柱體的體積? 但二重積分的值是負(fù)的? 說(shuō)明： 說(shuō)明：當(dāng)函數(shù) f(x? y)在閉區(qū)域 D 上連續(xù)時(shí)? 則 f(x? y) 在 D 上的二重積分必存在。于是我們總假定函數(shù) f(x? y)在閉區(qū)域 D 上連續(xù)，所以 f(x? y

9、) 在 D 上的二重積分都是存在的。例 1. 1.利用二重積分定義計(jì)算： ，其中 。 dxdy xyD ?? } 1 0 , 1 0 | ) , {( ? ? ? ? ? y x y x D三. 二重積分的性質(zhì) 二重積分的性質(zhì)設(shè) D 為有界閉區(qū)域，以下涉及的積分均存在。性質(zhì) 性質(zhì) 1 ? ? ? ? d y x g d y x f d y x g y x fD D D ?? ?? ?? ? ? ? ) , ( ) , ( )] ,