平面向量復(fù)習(xí)講義

1、知識內(nèi)容一、復(fù)數(shù)的概念1． 虛數(shù)單位 i:（1）它的平方等于 ，即 ； 1 ? 2 1 i ? ?（2）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立．（3）i 與－1 的關(guān)系:i 就是 的一個(gè)平方根，即方程 的一個(gè)根，方程 的另一個(gè)根是-i． 1 ? 2 1 x ? ? 2 1 x ? ?（4）i 的周期性：， ， ， ． 4 1 n i i ? ? 4 2 1 n i ? ? ? 4 3 n i i ?

2、 ? ? 4 1 n i ?2． 數(shù)系的擴(kuò)充：復(fù)數(shù)( 0)i i( 0) i( 0)i( 0)a ba b b a a b ba b a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?實(shí)數(shù)純虛數(shù) 虛數(shù)非純虛數(shù)3． 復(fù)數(shù)的定義：形如 的數(shù)叫復(fù)數(shù)， 叫復(fù)數(shù)的實(shí)部， 叫復(fù)數(shù)的虛部．全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做 i( ) a b a b ? ?R ， a b復(fù)數(shù)集，用字母 表示 C4． 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式: 通常用字母 表示，即 ，把復(fù)數(shù)表示成

3、 的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式． z ( ) z a bi a b R ? ? ? ， a bi ?5． 復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及 的關(guān)系： 0對于復(fù)數(shù) ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，復(fù)數(shù) 是實(shí)數(shù) ；當(dāng) 時(shí)，復(fù)數(shù) ( ) a bi a b R ? ? ， 0 b ? ( ) a bi a b R ? ? ， a 0 b ?叫做虛數(shù)；當(dāng) 且 時(shí)， 叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 就是實(shí)數(shù) z a bi ? ? 0 a ? 0 b ? z bi ? 0 a

4、b ? ? z0復(fù)數(shù)設(shè) ， ( 、 、 、 )是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)， 1 i z a b ? ? 2 i z c d ? ? a b c d ?R那么它們的積 ? ?? ? ? ? ? ? 1 2 i i i z z a b c d ac bd bc ad ? ? ? ? ? ? ?其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把 換成 ，并且把實(shí)部與 2 i 1 ?虛部分別合并．兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)．6． 乘法運(yùn)算律：（1

5、） ? ? ? ? 1 2 3 1 2 3 z z z z z z ?（2） 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) z z z z z z ? ? ? ? ?（3） ? ? 1 2 3 1 2 1 3 z z z z z z z ? ? ?7． 復(fù)數(shù)除法定義：滿足 的復(fù)數(shù) ( 、 )叫復(fù)數(shù) 除以復(fù)數(shù) 的商，記 ? ?? ? ? ? i i i c d x y a b ? ? ? ? x yi ? x y ?R a bi ? c di

6、?為： 或者 ? ? ( ) a bi c di ? ? ? a bic di? ?8． 除法運(yùn)算規(guī)則：設(shè)復(fù)數(shù)( 、 )，除以( ， )，其商為 （ 、 )， i a b ? a b?R i c d ? c d ?R i x y ? x y ?R即 ∵ ? ? ( i) i i a b c d x y ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? x yi c di cx dy dx cy i ? ? ? ? ? ?∴? ? ? ?

7、i i cx dy dx cy a b ? ? ? ? ?由復(fù)數(shù)相等定義可知 解這個(gè)方程組，得 cx dy adx cy b? ? ? ? ? ? ?，2 22 2ac bd x c dbc ad y c d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，于是有: ? ? ( i) i a b c d ? ? ? 2 2 2 2ac bd bc ad i c d c d? ? ? ? ? ?②利用 于是將 的分母有理化得： ? ?

8、? ?2 2 i i c d c d c d ? ? ? ? i ia bc d? ?原式 2 2i ( i)( i) [ i ( i)] ( )ii ( i)( i)a b a b c d ac b d bc adc d c d c d c d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 2 2 2 2 2 2( ) ( )i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d? ? ? ? ?

9、? ? ? ? ? ?∴( ? ? ( i) i a b c d ? ? ? ? 2 2 2 2 i ac bd bc adc d c d? ? ? ? ?點(diǎn)評:①是常規(guī)方法，②是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡無理分式時(shí)，都是采用的分母有理化思想方法，而復(fù)數(shù) 與復(fù)數(shù) ，相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的 的對偶式 ，它們之積 i c d ? i c d ? 3 2 ? 3 2 ?為 是有理數(shù)，而 是正實(shí)數(shù)．所以可以分母實(shí)數(shù)化． 把這種方法叫做分 1 ? ??