ok 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 數(shù)列最值得做的12類題

1、公眾號：中學(xué)生上分；精品資料群：798027791.1高三數(shù)學(xué)數(shù)列最值得做的 高三數(shù)學(xué)數(shù)列最值得做的 12 12 類題 類題題型一：遞推問題 題型一：遞推問題1、已知數(shù)列 已知數(shù)列{an}中,a1>0 >0,且 an+1 +1= 3+ 3+an2.(1) (1)試求 試求 a1的值 的值,使得數(shù)列 使得數(shù)列{an}是一個常數(shù)數(shù)列； 是一個常數(shù)數(shù)列；(2) (2)試求 試求 a1的取值范圍 的取值范圍,使得 使得 an+1 +

2、1>an對任何自然數(shù) 對任何自然數(shù) n 都成立； 都成立；（3）若 ）若 a1=4 =4,設(shè) bn=| =|an+1 +1-an|( |(n=1,2,3 =1,2,3…),并以 并以 Sn表示數(shù)列 表示數(shù)列{bn}的前 的前 n 項的和 項的和,試證明： 試證明：Sn0 >0,可以推得 可以推得 an>0 >0 并解出： 并解出：an=32.即 a1=a2=32（Ⅱ）研究 ）研究 an+1 +1-an= 3+a

3、3+an2- 3+a 3+an-1 n-12=an-an-1 n-12( 2( 3+ 3+an2+ 3+a 3+an-1 n-12)(n≥2) 2)注意到 注意到： 2( 2( 3+ 3+an2+ 3+a 3+an-1 n-12)>0 >0 因此 因此,an+1 +1-an,an-an-1 -1,…,a2-a1有相同的符號 有相同的符號.要使 要使 an+1 +1>an對任意自然數(shù)都成立 對任意自然數(shù)都成立,只須 只須

4、 a2-a1>0 >0 即可 即可.由 3+a 3+a12-a1>0 >0,解得： 解得：032 時,an+1 +132 ,故 Sn<4- <4-32=52.題型二：最值問題 題型二：最值問題2、已知數(shù)列 已知數(shù)列 } { n a 滿足： 滿足： 1 1 ? a ,an+1 +1= an2an+1 +1(n?N) ) ( N n? ,數(shù)列 數(shù)列 } { n b 的前 的前 n 項和 項和 Sn=12-

5、12( =12-12(23)n(n?N). (1) (1) 求數(shù) 求數(shù)列 } { n a 和{bn}的通項公式； 的通項公式；(2) (2) 設(shè) cn=bnan,是否存在 是否存在 N m? ,使 cm≥9 成立？并說明理由 成立？并說明理由.解答 解答： （1）由 ）由 2 1 11 2 1 1 ? ? ? ?? ? ? n n nna a aan a ,∴ 1 2 ) 1 ( 2 1 1 ? ? ? ? ? n nn a , 1 2

6、1 ? ? n n a ) ( N n? .由 nn S ) ( 12 12 3 2 ? ? 及 13 21 ) ( 12 12 ?? ? ? nn S ) 2 ( ? n ,可得 可得 13 21 ) ( 4 ?? ? ? ? nn n n S S b ) 2 ( ? n ,令 1 ? n ,則 4 12 12 3 21 1 ? ? ? ? ? S b 也滿足上式 也滿足上式,∴ 13 2) ( 4 ? ? nn b ) ( N n?

7、 .（2） 13 2 13 2 ) ( ) 1 2 ( 4 ) ( 4 ) 1 2 ( ? ? ? ? ? ? ? ? n nabn n n Cnn ,設(shè) m C 為數(shù)列 為數(shù)列 } { n C 中的最大項 中的最大項,則? ?? ?????? ?? ??? ? ? ?? ? ? ??? ?? ??? ? ?? ? ??? ? ????? ???2 52 73 23 23 2 13 223 2 13 211) 1 2 ( 1 23 2

8、) 1 2 () ( ) 1 2 ( 4 ) ( ) 1 2 ( 4) ( ) 3 2 ( 4 ) ( ) 1 2 ( 4mmm mm mm mm mC CC Cm mm mm mm m ,∴ 3 ? m .即 3 C 為 } { n C 中的最大項 中的最大項.∵ 9 ) ( 20 9 80 23 23 ? ? ? C ,∴不存在 不存在 N m? ,使 9 ? m C 成立 成立.題型三：公共項問題 題型三：公共項問題3、設(shè) 、設(shè)

9、An為數(shù)列 為數(shù)列{an}的前 的前 n 項的和， 項的和，An＝32 (a (an－1) 1)，數(shù)列 ，數(shù)列{bn}的通項公式為 的通項公式為 bn＝4n 4n＋3。公眾號：中學(xué)生上分；精品資料群：798027791.310 4 1 1 ? ? c c 計算出 2 1 ? c 3 分1 2 1 2 4 2 ? ? ? ? ? n nn c 4 分1 2 ? ? ? n an 5 分（2） 1 1 12 2 1 2 1n b n n?

10、? ? ? ? ? ? ? ? ?6 分于是 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 5 2 1 2 1 2 1nn T n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 8 分n n T? ? lim = 21 10 分（3）假設(shè)否存在正整數(shù) ? ? , 1 m n m n ? ? ，使得 1, , m n T T T 成等比數(shù)列，則

11、2 12 1 3 2 1m nm n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 12 分可得223 2 4 1 0 m mn m? ? ? ? ? ，由分子為正，解得 6 6 1 1 2 2 m ? ? ? ? ，由 , 1 m N m ? ? ? ，得 2 m ? ，此時 12 n ? ，當(dāng)且僅當(dāng) 2 m ? ， 12 n ? 時， 1, , m n T T T 成等比數(shù)列。 16 分說明：只有結(jié)論， 2 m ? ， 12 n ? 時，

12、 1, , m n T T T 成等比數(shù)列。若學(xué)生沒有說明理由，則只能得 13 分題型五：類比問題 題型五：類比問題5. 5. 已知數(shù)列 已知數(shù)列? ? n a 為 d≠0 的等差數(shù)列 的等差數(shù)列,對于 對于 p,q p,q ? ? N ,且 p≠q(1) (1) 求證 求證: q pa a q p??是不依賴于 是不依賴于 p,q p,q 的常數(shù) 的常數(shù);(2) (2) 對于 對于 p＜q＜r(p,q,r r(p,q,r ? ? N

13、), ),試證 試證:( :(r－p)a p)aq=(q =(q－p)a p)ar+(r +(r－q)a q)ap; p;正數(shù)數(shù)列 正數(shù)數(shù)列{b {bn}是公比不等于 是公比不等于 1 的 GP, GP,類似 類似(1)(2) (1)(2)的等式是什么 的等式是什么?并加以證明 并加以證明?題型六：放縮問題 題型六：放縮問題6. 已知函數(shù) f（x）在（－1，1）上有定義， 1 ) 21 ( ? ? f 且滿足 x、y∈（－1，1） 有)