應(yīng)用隨機過程

1、應(yīng) 用 隨 機 過 程李育強 姚強2020年 9 月1前 言“隨機過程” 以介紹若干研究復(fù)雜隨機現(xiàn)象的理論、方法與應(yīng)用為主要內(nèi)容, 長期以來 作為專業(yè)課程和研究類課程在高校若干專業(yè)的高年級或研究生階段開設(shè). 然而, 隨著社會與 科技的發(fā)展, 越來越多的學(xué)科意識到該課程的重要性, 開設(shè)該課程的專業(yè)越來越多, 開設(shè)的時 間也被安排到大學(xué)二、三年級. 在這種背景下, 精選教學(xué)內(nèi)容使其在保留課程特色與精華的 同時降低學(xué)習(xí)門檻成為該課程教學(xué)中需要

2、面對的最大挑戰(zhàn). 這本《應(yīng)用隨機過程》就是編者 在多年的教學(xué)反思與實踐基礎(chǔ)上, 參考國內(nèi)外有關(guān)著作編著而成的.本書設(shè)定讀者只具有數(shù)學(xué)分析(高等數(shù)學(xué)), 高等代數(shù)(線性代數(shù))和初等概率論(概率論與 數(shù)理統(tǒng)計)等大學(xué)一、二年級的數(shù)學(xué)基礎(chǔ). 內(nèi)容著重于隨機過程的基本理論和基本方法的介 紹, 注重實際應(yīng)用. 為了保證本書的獨立性與理論體系的相對完整性，也為了便于讀者自學(xué) 使用, 本書在內(nèi)容上做了如下的編排.首先, 注重夯實與強化讀者已有的數(shù)學(xué)基

3、礎(chǔ). 本書第一章簡要地回顧了初等概率論的基 本內(nèi)容, 并補充介紹了其中的條件數(shù)學(xué)期望, 分布函數(shù)的特征刻畫以及隨機變量的收斂等重、 難點內(nèi)容. 我們還通過第一章的練習(xí)幫助讀者回顧一些學(xué)習(xí)隨機過程所需的數(shù)學(xué)分析(高等 數(shù)學(xué))和高等代數(shù)知識.其次, 注重與初等概率論課程的銜接. 我們在導(dǎo)入隨機過程時從初等概率論涉及的隨機 變量序列出發(fā), 以貝努利過程(獨立同分布的貝努利隨機變量序列), 隨機游動(獨立同分布隨 機變量的部分和序列), 泊松過

4、程(獨立同指數(shù)分布隨機變量的部分和序列的逆)等具體模型作 為本書的第二章內(nèi)容, 幫助讀者初步認(rèn)識和了解隨機過程所討論的問題、所涉及的思想和方 法以及相關(guān)的應(yīng)用.再次, 注重降低閱讀本書的數(shù)學(xué)門檻. 讀者只需在熟練掌握高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)以及初 等概率論知識基礎(chǔ)上都能順利閱讀與理解本書介紹的全部內(nèi)容. 為了理論體系的相對完整, 我們對那些通常以測度論或?qū)嵶兒瘮?shù)等大學(xué)高年級數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)展開、但對理解隨機過 程理論和方法所必須的概念和結(jié)論都做

5、了相應(yīng)地改寫和注釋.最后, 注重示例說明與學(xué)習(xí)效果檢驗. 本書配有各類示例超過120個, 幫助讀者理解相關(guān) 的概念、理論與方法. 書中許多例子具有一定的應(yīng)用背景, 有助于讀者理解如何應(yīng)用隨機過 程解決實際問題. 同時, 為了便于讀者檢驗自己的學(xué)習(xí)效果, 本書包含練習(xí)超過200 道并將練 習(xí)分節(jié)設(shè)置. 根據(jù)練習(xí)的難易程度, 我們通過加*號對練習(xí)加以區(qū)分, 讀者可以通過完成每章 節(jié)后的練習(xí)加深對課程內(nèi)容的理解(帶*的內(nèi)容與練習(xí), 初學(xué)者可略

6、過).全書共七章, 除前面提到的第一、第二章外, 在第三章我們系統(tǒng)地介紹了馬氏鏈的狀態(tài) 分類、平穩(wěn)分布、轉(zhuǎn)移概率的極限理論和遍歷性定理. 在第四章我們結(jié)合可逆馬氏鏈、隱馬 氏鏈、分枝過程等隨機模型進(jìn)一步展示了馬氏鏈在各個領(lǐng)域方面的應(yīng)用. 第五章介紹了更新 過程的有關(guān)概念、方法、極限理論及其應(yīng)用. 第六章圍繞布朗運動, 我們主要介紹了它的定 義與分布、極值與首達(dá)時的分布以及布朗運動的簡單應(yīng)用. 第七章簡要地介紹了離散時間鞅 的相關(guān)理論,

7、包括停時定理、鞅的不等式以及鞅的極限定理等內(nèi)容. 考慮到平穩(wěn)過程是時間 序列的理論基礎(chǔ), 本書不包含這個專題. 本書第四、五、六、七章之間, 除個別例子與練習(xí) 外, 內(nèi)容相對獨立.依據(jù)編者的經(jīng)驗, 全部講完本書內(nèi)容需要54-72學(xué)時. 具體章節(jié)學(xué)時(含習(xí)題課)安排如下: 第一章6-10學(xué)時; 第二章8-10學(xué)時; 第三章10-14學(xué)時; 第四章6-8學(xué)時; 第五章8-10學(xué)時; 第六 章8-10學(xué)時; 第七章8-10學(xué)時. 對于更短學(xué)時

8、的教學(xué), 編者建議在完整介紹前三章基礎(chǔ)上, 根 據(jù)培養(yǎng)目標(biāo), 有選擇地介紹后面四章中的部分章節(jié)內(nèi)容.全書內(nèi)容由李育強執(zhí)筆, 姚強負(fù)責(zé)其中部分練習(xí)的補充、驗算以及全書最后的統(tǒng)一與 校、審等工作. 本書初稿在華東師范大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院的統(tǒng)計學(xué)與金融工程專業(yè)反復(fù)試用過多次, 收到許多同學(xué)的反饋意見. 在此對這些專業(yè)的同學(xué)表示衷心的感謝.本書是華東師范大學(xué)2019校精品教材建設(shè)專項的成果. 在教材編寫過程中得到華東師范 大學(xué)教務(wù)處、經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)部以及