解稀疏插值問題的代數(shù)幾何方法.pdf

1、插值是計算數(shù)學中的一個基本問題，在科學與工程很多領域有重要應用.其中，稀疏插值問題是一類有趣的、有重要應用背景但相對來說研究還不夠成熟的問題，近年來受到越來越多的國內(nèi)外學者的關注.多項式方程組求解問題自古以來就是一個重要并且困難的問題，是代數(shù)學、代數(shù)幾何、計算數(shù)學與計算機數(shù)學的重要研究課題.本文研究由稀疏插值問題及與其密切相關的具有高度振蕩系數(shù)的線性橢圓型微分方程數(shù)值解中衍生出來的多項式方程組的解的性質(zhì)和高效率的解法.
　　第一章

2、簡要地介紹了稀疏插值問題的發(fā)展和應用以及解多項式方程組的同倫方法的一些進展.
　　第二章研究等距稀疏插值問題.對一般的采樣數(shù)據(jù)，我們證明了具有2n個等距采樣點的稀疏插值問題所衍生出來的多項式方程組恰好具有n個非奇異孤立解，并且它們都屬于同一個等價類.利用該性質(zhì)，我們給出了一種高效率的系數(shù)參數(shù)同倫方法.該算法在第一階段不需要任何計算量，第二階段僅需要跟蹤一條路徑即可求得該多項式方程組的全部孤立解.
　　在第三章，對一般的多項式

3、方程組，在給定變元分組下，我們證明了當多項式方程組的最高次齊次部分只有平凡解時，其孤立解的個數(shù)等于該變元分組所對應的多重齊次Bézout數(shù).本章是第四章關于帶跳點的等距稀疏插值問題所衍生出來的多項式方程組孤立解的性質(zhì)研究的理論基礎.
　　第四章研究帶跳點的等距稀疏插值問題.對帶跳點的等距稀疏插值問題所衍生出來的多項式方程組，我們給出了一個關于其孤立解個數(shù)和解的等價類個數(shù)的猜想，并對部分情形，通過消元化簡后用同倫方法證明了該猜想.隨

4、后，我們給出求該多項式方程組全部孤立解的高效的系數(shù)參數(shù)同倫方法.該算法在第一階段只需很小的計算量，第二階段所需跟蹤的同倫路徑的條數(shù)與解的等價類的個數(shù)相等，遠遠小于孤立解的個數(shù).
　　第五章研究具有高度振蕩系數(shù)的線性橢圓型微分方程的稀疏解.與傳統(tǒng)數(shù)值算法（如譜方法、有限元等）不同，基于真解可用很少幾個具有較大權(quán)值系數(shù)的基函數(shù)的線性組合來很好地逼近的觀察，我們采用不定基函數(shù)的離散化策略.這樣，與稀疏插值問題類似，該問題可以歸結(jié)為一類小