解稀疏插值問(wèn)題的代數(shù)幾何方法.pdf

1、插值是計(jì)算數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本問(wèn)題，在科學(xué)與工程很多領(lǐng)域有重要應(yīng)用.其中，稀疏插值問(wèn)題是一類(lèi)有趣的、有重要應(yīng)用背景但相對(duì)來(lái)說(shuō)研究還不夠成熟的問(wèn)題，近年來(lái)受到越來(lái)越多的國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注.多項(xiàng)式方程組求解問(wèn)題自古以來(lái)就是一個(gè)重要并且困難的問(wèn)題，是代數(shù)學(xué)、代數(shù)幾何、計(jì)算數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)的重要研究課題.本文研究由稀疏插值問(wèn)題及與其密切相關(guān)的具有高度振蕩系數(shù)的線性橢圓型微分方程數(shù)值解中衍生出來(lái)的多項(xiàng)式方程組的解的性質(zhì)和高效率的解法.
　　第一章

2、簡(jiǎn)要地介紹了稀疏插值問(wèn)題的發(fā)展和應(yīng)用以及解多項(xiàng)式方程組的同倫方法的一些進(jìn)展.
　　第二章研究等距稀疏插值問(wèn)題.對(duì)一般的采樣數(shù)據(jù)，我們證明了具有2n個(gè)等距采樣點(diǎn)的稀疏插值問(wèn)題所衍生出來(lái)的多項(xiàng)式方程組恰好具有n個(gè)非奇異孤立解，并且它們都屬于同一個(gè)等價(jià)類(lèi).利用該性質(zhì)，我們給出了一種高效率的系數(shù)參數(shù)同倫方法.該算法在第一階段不需要任何計(jì)算量，第二階段僅需要跟蹤一條路徑即可求得該多項(xiàng)式方程組的全部孤立解.
　　在第三章，對(duì)一般的多項(xiàng)式

3、方程組，在給定變?cè)纸M下，我們證明了當(dāng)多項(xiàng)式方程組的最高次齊次部分只有平凡解時(shí)，其孤立解的個(gè)數(shù)等于該變?cè)纸M所對(duì)應(yīng)的多重齊次Bézout數(shù).本章是第四章關(guān)于帶跳點(diǎn)的等距稀疏插值問(wèn)題所衍生出來(lái)的多項(xiàng)式方程組孤立解的性質(zhì)研究的理論基礎(chǔ).
　　第四章研究帶跳點(diǎn)的等距稀疏插值問(wèn)題.對(duì)帶跳點(diǎn)的等距稀疏插值問(wèn)題所衍生出來(lái)的多項(xiàng)式方程組，我們給出了一個(gè)關(guān)于其孤立解個(gè)數(shù)和解的等價(jià)類(lèi)個(gè)數(shù)的猜想，并對(duì)部分情形，通過(guò)消元化簡(jiǎn)后用同倫方法證明了該猜想.隨

4、后，我們給出求該多項(xiàng)式方程組全部孤立解的高效的系數(shù)參數(shù)同倫方法.該算法在第一階段只需很小的計(jì)算量，第二階段所需跟蹤的同倫路徑的條數(shù)與解的等價(jià)類(lèi)的個(gè)數(shù)相等，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于孤立解的個(gè)數(shù).
　　第五章研究具有高度振蕩系數(shù)的線性橢圓型微分方程的稀疏解.與傳統(tǒng)數(shù)值算法（如譜方法、有限元等）不同，基于真解可用很少幾個(gè)具有較大權(quán)值系數(shù)的基函數(shù)的線性組合來(lái)很好地逼近的觀察，我們采用不定基函數(shù)的離散化策略.這樣，與稀疏插值問(wèn)題類(lèi)似，該問(wèn)題可以歸結(jié)為一類(lèi)小