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文檔簡介
1、本文研究了Dirichlet除數(shù)問題在Pjateckiǐ-(S)apiro素數(shù)定理條件下和無k次因子數(shù)集合中的推廣. 數(shù)論中的一個著名問題就是研究除數(shù)函數(shù)d(n)的均值估計∑d(n)=xlogx+(2γ-1)x+△(x),n≤xDirichlet首先得到了余項的估計△(x)《x1/2(1849).為了紀(jì)念他,人們把該問題叫做Dirichlet除數(shù)問題.后來,人們不斷改進(jìn)而得到了下面的結(jié)果:△(x)(《)x1/3logxVoron
2、oi(1904)△(x)(《)x27/82vanderCorput(1928)△(x)(《)x346/1067Kolesnik(1973)△(x)(《)x35/108log2xKolesnik(1982)△(x)(《)x23/73log315/146xHuxley(1993)△(x)(《)x131/416log26957/8320xHuxley(2003)雖然這些結(jié)果越來越好,但離預(yù)期還有一段距離一一猜想(未解決)對任意小的正數(shù)ε,有△
3、(x)(《)x1/4+ε.同樣的,人們也考慮在特定條件下的除數(shù)問題.Heath-Brown[9],Iwanicc研究了算數(shù)序列(等差數(shù)列)中的Dirichlet除數(shù)問題:∑n≤xn=a(modq)=c1(a,q)xlogx+c2(a,q)x+E(x;a,q).設(shè)c>0為固定實數(shù),令πc(x)表示不超過實數(shù)x的整數(shù)n的個數(shù),其中這些整數(shù)滿足:[nc]是一個素數(shù).人們對這樣的數(shù)感興趣.Pjateckiǐ-(S)apiro[11]首先證πc(
4、x)=x/clogx(1+o(1))對0<c<12/11成立.其中,0<c≤1時是素數(shù)定理的顯然推論;1<c<12/11時是非顯然結(jié)果,不能由素數(shù)定理得到.令Nc表示不超過實數(shù)x且滿足上述條件的所有整數(shù),Balog[2]當(dāng)0<c<5/6時,得到了∑1p≤xp∈Nc=x/clog2x(1+o(1)).本文第一章即研究了在Pjateckiǐ-(S)apiro素數(shù)定理條件下的Dirichlet除數(shù)問題,得到了定理1.1∑n≤xn∈Ncd(n)
5、=1/cx+1/c(2γ-1/c)x/logx+O(xe-c'√logx),對0<c<4/5成立.其中,c'>0是常數(shù).第二章研究了n是無k次因子數(shù)時的問題,得到了一般結(jié)果定理2.1∑d(n)fk(n)=Axlogx+Bx+Ek(x),其中A,B是與κ有關(guān)的可算常數(shù),{x1/2e-c2δ(x),k=2;Ek(x)x1/3e-c3δ(x),k=3;xθ,k≥4.由于κ≥4得不到很好的余項估計,所以本章又研究了小區(qū)間上的問題,得到定理2.2
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