對稱擬線性橢圓方程Dirichlet問題的擾動.pdf

1、本文中，我們將應(yīng)用極大極小方法研究一類具有對稱非線性項的擬線性橢圓方程Dirichlet邊值問題在非對稱擾動下解的存在性與多重性?？紤]對稱擬線性橢圓方程Dirichlet邊值問題的擾動(P1)ε{-△pu=f(x,u)+εg(x,u),inΩ,u=0,on()Ω這里Ω是RN中的有界區(qū)域，具有光滑邊界()Ω，Δpu=div(|()u|p-2()u)為p-拉普拉斯算子，ε是一個參數(shù)，其中g(shù)：Ω×R→R是任一連續(xù)函數(shù)，f：Ω×R→R是連續(xù)函數(shù)

2、，我們將在下面賦予函數(shù)f所滿足的兩組條件。 非線性函數(shù)f滿足的第一組條件，是如下的整體性條件：(f1)對任意的x∈Ω，t∈R，有f(x，-t)=-f(x，t).(f2)當(dāng)1＜p＜N時，存在常數(shù)C＞0和1＜q＜p*-1，其中p*=NP/N-p，使得對任意的x∈Ω，t∈R，有|f(x，t)|≤C(1+|t|q)；當(dāng)N=p時，有l(wèi)im|t|→∞ln(|f(x,t)|+1)/|t|p=0，對x∈Ω一致成立。 (f3)存在常數(shù)M＞

3、0和μ＞p，使得對任意的x∈Ω，|t|≥M，有0＜μF(x，t)≤tf(x，t)，其中F(x，t)=∫t0f(x，s)ds為f的原函數(shù)。 非線性函數(shù)f滿足的第二組條件，是如下的局部性條件：(f4)存在常數(shù)δ＞0，使得當(dāng)x∈Ω，|t|≤δ時，有f(x，-t)=-f(x，t).(f5)limt→0F(x,t)/|t|p=+∞.(f6)存在常數(shù)δ1＞0，使得對任意的x∈Ω，0＜|t|≤δ1，有pF(x，t)＞tf(x，t).本文的主要

4、結(jié)果是下面的兩個定理。 定理1設(shè)函數(shù)f滿足條件(f1)-(f3)，則對任意給定的j∈N，存在εj＞0，使得當(dāng)|ε|≤εj時，問題(P1)ε至少有j個不同的解，且這些解具有正的臨界值，即若u是這樣的一個解，則1/p∫Ω|()u|pdx-∫Ω[F(x,u)+εG(x,u)ds＞0.定理2設(shè)函數(shù)f滿足條件(f4)-(f6)，則對任意給定的j∈N，存在εj＞0，使得當(dāng)|ε|≤εj時，問題(P1)ε至少有j個不同的解，且這些解具有負(fù)的臨界