半格分次弱Hopf代數(shù)及其結(jié)構(gòu).pdf

1、由于Hopf代數(shù)在量子群理論和相關(guān)的數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域的重要地位，隨著研究的深入，一些弱化的Hopf代數(shù)概念的意義越來(lái)越得到深入的理解和進(jìn)一步的重視。在文獻(xiàn)中，為了研究Yang-Baxter方程的非平凡解，作者引入了著名的弱Hopf代數(shù)的概念使得基于這一類(lèi)雙代數(shù)，能夠給出Yang-Baxter方程的一個(gè)非平凡解?；赮ang-Baxter方程在理論物理學(xué)中的重要性，非平凡的Yang-Baxter方程的解就成了研究的關(guān)鍵。另一個(gè)方面，弱Hopf

2、代數(shù)和正則幺半群有著緊密地聯(lián)系，例如，一個(gè)幺半群代數(shù)是一個(gè)弱Hopf代數(shù)的充要條件是這個(gè)半群是正則幺半群。顯然，為了更深入地研究這兩個(gè)方面，很有必要去找出更多的非平凡的弱Hopf代數(shù)。 在第一章中，通過(guò)一族Hopf代數(shù)構(gòu)造了所謂的半格分次弱Hopf代數(shù)。半格分次弱Hopf代數(shù)的一個(gè)典型例子就是Clifford幺半群代數(shù)。然后，我們?cè)诘?.2節(jié)里給出了這類(lèi)弱Hopf代數(shù)的一些性質(zhì)和等價(jià)刻畫(huà)。 已經(jīng)熟知群代數(shù)的Maschke

3、定理，在[Mo2]中，作者又給出了有關(guān)有限維Hopf代數(shù)的Maschke和對(duì)偶Maschke定理的情形。對(duì)于半群代數(shù)的方面來(lái)說(shuō)，[CP]給出了擬半群代數(shù)的類(lèi)似的結(jié)論。因?yàn)槿鮄opf代數(shù)是幺半群代數(shù)的自然推廣，很顯然地我們會(huì)問(wèn)弱Hopf代數(shù)又會(huì)是什么情形呢?半格分次弱Hopf代數(shù)是弱Hopf代數(shù)的一類(lèi)特殊情況，而且又是Hopf代數(shù)的一種推廣，在第1.3節(jié)中，我們將會(huì)給出半格分次弱Hopf代數(shù)的Maschke和對(duì)偶Maschke定理的結(jié)論及

4、其應(yīng)用。 在第2.1節(jié)中，基于[L9]中的結(jié)論，本研究給出了一個(gè)正則Yang-Baxter方程的解，同時(shí)也給出了這個(gè)解的一個(gè)分解。而且，類(lèi)似于[L8]中的相關(guān)結(jié)論，我們將給出交換情況下的半格分次弱Hopf代數(shù)的G-量子偶的分解和半單性的討論。 盡管有限Clifford幺半群的量子偶確實(shí)是有限群量子偶的一個(gè)推廣，但是[L2]中的量子偶一般情況下是不能夠看作是Hopf代數(shù)量子偶的一個(gè)推廣，這是因?yàn)槲覀冊(cè)赱L2]中要求所有討論

5、的弱Hopf代數(shù)都是交換的。在第2.2節(jié)中，我們將要推廣這些結(jié)論并且構(gòu)造了弱Hopf代數(shù)skew-對(duì)的擬雙交叉積，在這兒，我們并不要求skew-對(duì)中的兩個(gè)弱Hopf代數(shù)是交換的。首先，我們通過(guò)弱Hopf代數(shù)的skew-對(duì)來(lái)構(gòu)造了一種新的擬雙交叉積，這種skew對(duì)是對(duì)Takeuchi[Ta]Hopf代數(shù)對(duì)的一個(gè)推廣。作為特殊情況，非交換的半格分次弱Hopf代數(shù)的量子偶同樣可以構(gòu)造出來(lái)。作為群和非交換非余交換Hopf代數(shù)的量子偶的構(gòu)作的推廣

6、，我們同樣可以分別給出Clifford幺半群和非交換非余交換弱Hopf代數(shù)的量子偶的構(gòu)作。而且，我們還要給出有限維半格分次弱Hopf代數(shù)量子偶的一些刻畫(huà)。 眾所周知，每個(gè)余代數(shù)C都可以唯一分解為它的不可分分支的直和，而且當(dāng)C是余交換的時(shí)候，這些不可分分支是不可約的。在1995年，Montgomery[Mo1]給出了這個(gè)結(jié)論的另外的一個(gè)證明方法，而且她還利用這些結(jié)論來(lái)證明對(duì)于任何點(diǎn)的Hopf代數(shù)H，會(huì)有類(lèi)群元群G(H)的一個(gè)正規(guī)子

7、群N使得H是K(G/N)和H的包含單位元的不可分分支的交叉積。在第2.3節(jié)中，我們將把Montgeomery的這一結(jié)論推廣到點(diǎn)的半格分次弱Hopf代數(shù)上去。而且，作為主要結(jié)論的一個(gè)相反地考慮，在最后我們構(gòu)造了一個(gè)Clifford幺半群。 我們已經(jīng)知道，H-擴(kuò)張A(∈)B是H-cleft的充要條件是B≌A＃σH。在第2.3節(jié)中，我已經(jīng)將Clifford幺半群代數(shù)分解為交叉積的半格分次的直和，在第2.4節(jié)中我們希望能夠通過(guò)所謂的H-

8、Y-cleft擴(kuò)張將如上關(guān)于交叉積的結(jié)論推廣到所謂的Y-交叉積上去。 當(dāng)然，Clifford幺半群代數(shù)是半格分次弱Hopf代數(shù)的一個(gè)例子。但是，我們希望能夠給出更多的非平凡的半格分次弱Hopf代數(shù)的例子。在文獻(xiàn)[BDG]中，作者給出了通過(guò)Ore-擴(kuò)張從一個(gè)群代數(shù)來(lái)構(gòu)造點(diǎn)Hopf代數(shù)的一般構(gòu)造方法和過(guò)程。這樣就給我一個(gè)啟示：通過(guò)Ore-擴(kuò)張來(lái)構(gòu)造點(diǎn)的半格分次弱Hopf代數(shù)。在第3章中，我們通過(guò)Ore-擴(kuò)張從一個(gè)Clifford幺半