弱Hopf代數(shù)上右扭曲弱Smash積.pdf

1、本文設H是弱Hopf代數(shù)，其對極為S，K-代數(shù)A是弱H-雙模代數(shù)，在張量積空間A()H上規(guī)定乘法：()a，b∈A，h，g∈H，(a()h)(b()g)=a(h1()b()S(h3))()h2g，且滿足共融關系式：(^1)1()a()12h=a()h，a()S(12)()(^1)1h=a()h，我們稱此張量積空間A()H是右扭曲弱Smash積，記為A*H。這樣A*H就自然具有了一個代數(shù)結構，單位元是1*(^1)，右扭曲Smash積A*H作

2、為余代數(shù)是張量積余代數(shù)，規(guī)定余乘法和余單位：△*(a*h)=(a1*h1)()(a2*h2)，ε*(a*h)=εA(a)εH(h)。我們主要是將右扭曲Smash積A*H在Hopf代數(shù)上的性質推廣到弱Hopf代數(shù)上。 在文[13][14][15]的基礎上，我們研究了當A是弱雙代數(shù)，A*H滿足a()S(h1)*h2=a()S(h2)*h1時，A*H是弱雙代數(shù)的充要條件。即A*H是弱雙代數(shù)當且僅當以下三個式子同時成立： (1)

3、((h1()a()S(h4))1*h2)()((h1()a()S(h4))2*h3)=(11(h1()a1()S(h3))*h211)()(12(h4()a2()S(h6))*h512)(2)εA(a(x1()b()S(x5))(x2y1()c()S(x4y3)))εH(x3y2)=εA(a(x1()b1()S(x3)))εA(b2(y2()c()S(y4)))εH(x2y1)εH(y3)(3)εA(a(x1()b()S(x5))(x2

4、y1()c()S(x4y3)))εH(x3y2)=εA(a(x1()b2()S(x3)))εA(b1(y1()c()S(y3)))εH(x2y4)εH(y2)此時，若A和H都是弱Hopf代數(shù)，且滿足：(1)a1(ПLH(h)()SA(a2))=ПLA(a)εH(h)(2)(S(h3)()ПR(a)()S2(h1))*S(h2)h4=11εA(a(h1()12()S(h2))*1則A*H是弱Hopf代數(shù)，其中S*(a*h)=(1*SH(h

5、))(SA(a)*1)。仿照Hopf代數(shù)，我們定義了H是弱Hopf代數(shù)，H在A上的跡函數(shù)l：A()AH，得出H在A上的跡函數(shù)l(a)=l()a是AH-雙模映射。如果l：A()AH是滿射，H是弱Hopf代數(shù)，A是弱H-雙模代數(shù)，我們得到在A*H中存在一個非零的冪等元e使得作為代數(shù)有e(A*H)e=AHe≌AH。在弱Hopf代數(shù)中，有這樣一個等價條件：H是弱Hopf代數(shù)，則H是半單的()存在H的標準化左積分e；即()h∈H，有he=ПLH(

6、h)e，且ПLH(e)=1。利用這個等價條件，我們研究了A*H的半單性，即找A*H中的標準化左積分e*q，當A*H是弱Hopf代數(shù)，e和q分別是A和H的左積分，則e*q是A*H的左積分當且僅當()∈A，x∈Ha(x1()e()S(x2))*q=ПLA(a)εH(x)e*q。在上述條件下，若e和q分別是A和H的標準化左積分，且滿足ε*(11(e()S((^1)1))*q)=εA(11e)εH((^1)1q)，則e*q是A*H的標準化左積分