Loop代數(shù)上的推廣Toda力學(xué)系統(tǒng)研究.pdf

1、多體力學(xué)系統(tǒng)相互作用是繼兩體問題之后理論力學(xué)領(lǐng)域的又一熱點(diǎn)問題。因?yàn)樗c諸如長程相關(guān)、非線性波的傳播以及反散射方法等多個(gè)領(lǐng)域的問題相關(guān)，所以長期以來一直為理論物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家所關(guān)注，并有著突破性的進(jìn)展：大量一維精確可解多體系統(tǒng)被發(fā)現(xiàn)，其中著名的有Toda鏈，Calogero-Moser模型和Ruijsenaars-Schneider模型。 Toda模型由開始只考慮多體間的近鄰相互作用，后經(jīng)候伯宇和趙柳等人研究了次近鄰相互作用，得

2、到了不斷的推廣。劉王云等又以經(jīng)典李代數(shù)為背景，對一維對稱Toda鏈進(jìn)行研究。他們在總結(jié)原始Toda晶格Lax矩陣的數(shù)學(xué)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，在對稱的L矩陣中引入更多的非對角變量，將Toda晶格推廣至準(zhǔn)長程相互作用的情形，給出精確求解的辦法。而與經(jīng)典李代數(shù)情形相比，以Loop代數(shù)為基礎(chǔ)的多體力學(xué)系統(tǒng)更具現(xiàn)實(shí)意義。這是因?yàn)橐訪oop代數(shù)為基礎(chǔ)的Toda理論的Lax矩陣譜曲線與Seiberg-Witten理論中四維超對稱規(guī)范理論的模參數(shù)所生成的橢圓曲

3、線相一致，從而為我們從可積系統(tǒng)中得到四維超對稱規(guī)范理論的模參數(shù)和預(yù)勢提供了一種方法?；谶@一點(diǎn)，我們構(gòu)造Loop代數(shù)上的Toda力學(xué)系統(tǒng)就具有很重要的物理意義。 本文第一章為引言。第二章為基礎(chǔ)知識(shí)部分。第三章對Loop代數(shù)L(Dr)上具有長程相互作用的Toda力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行推廣，用一組有序整數(shù)對(X，y)來表示Toda鏈，構(gòu)造出Loop代數(shù)L(Dr)的LaxPairL和M，其中，L=L0+L++L-，M=L+-L-.L0是卡當(dāng)部分

4、，L+是正根部分，L-是負(fù)根部分。并給出了系統(tǒng)在X，y≤3情況下的運(yùn)動(dòng)方程，哈密頓結(jié)構(gòu)及泊松括號(hào)。其中，同一Loop代數(shù)L(Dr)上的(X2，Y2)Toda鏈可由(X1，Y1)Toda鏈(X2＜X1，Y2＜Y1)通過nested約化的方式得到。在此模型中，標(biāo)準(zhǔn)的Toda變量之間和附加的坐標(biāo)變量之間的泊松括號(hào)都非零，部分附加的坐標(biāo)變量之間的泊松結(jié)構(gòu)構(gòu)成李代數(shù)。由于本文的泊松括號(hào)是根據(jù)哈密頓方程直接設(shè)定的，所以我們還驗(yàn)證了這些設(shè)定的泊松括號(hào)