組合計數(shù)與恒等式.pdf

1、Ramanujan多項式是Ramanujan在他研究冪級數(shù)之逆的時候引入的.在樹的Cayley公式的研究中,Shor發(fā)現(xiàn)了—個對非恰當邊加細的遞推關(guān)系式.但他沒有注意到這一遞推關(guān)系式和Ramanujan多項式的聯(lián)系.另一方面,Dumont 和Ramamonjisoa用文法對Ramanujan多項式有關(guān)的序列進行研究后,得到和Shor相同的結(jié)論.非常巧的是,曾江注意到Shor多項式在對其進行參數(shù)替換后可以變成Ramanujan多項式.Sh

2、or還發(fā)現(xiàn)Ramanujan多項式的一個遞歸式(它在曾江的參數(shù)替換下和Berndt-Evans-Wilson遞歸式是一致的),并公開尋求其組合證明.在這篇論文的第一章我們給出Shor遞歸式,或者說是BerndtEvans-Wilson遞歸式的一個雙射證明,從而解決了Shor的公開問題.這樣一個雙射同時給出了最初由Ramanujan給出的一個遞歸式的組合解釋.加權(quán)有向合成圖是把加權(quán)有向圖的每個頂點替換成一個加權(quán)有向圖而得到的圖.我們給出了

3、Kelmans-Pak-Postnikov關(guān)于加權(quán)有向合成圖的樹容量的計算公式的一個漂亮的組合證明.我們還得到這個公式的一個加細形式.我們注意到兩個對稱的q-恒等式,它們是Gasper和Rahman的著作《Basic Hypergeometric Series》(劍橋大學(xué)出版社,1990,第241頁)中的兩個2φ1級數(shù)變換公式的特殊形式.我們利用模2圖的共軛性給出了這兩個q-恒等式以及q-二項式定理的組合證明.更一般地,利用字的模型我們

4、給出一個對稱的關(guān)于4φ3級數(shù)的恒等式的組合證明.這個q-恒等式是著名的q-Pfaff-Saalschiitz恒等式的一個對稱推廣.我們還給出Jackson的三個q-恒等式的初等證明.它們是Jackson的Dixon公式有限形式的q-模擬,Jackson的Clausen公式的q-模擬,以及這兩個公式的一個統(tǒng)一推廣.多聯(lián)骨牌是平面上的頂點為格點的一些正方形區(qū)域的連通并集.多聯(lián)骨牌稱為凸的,如果它與任何水平或豎直的直線之交為空或是一條線段.L