幾類反應(yīng)擴(kuò)散捕食模型的平衡態(tài)及分支.pdf

1、反應(yīng)擴(kuò)散方程組被廣泛地用于探討物理、化學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域的各種問題，研究的內(nèi)容和方法是多種多樣的，研究結(jié)果具有重要的理論和實(shí)際意義。反應(yīng)擴(kuò)散方程組的平衡解就是最基本的研究問題之一?？紤]到反應(yīng)擴(kuò)散方程組的解的長(zhǎng)時(shí)間性態(tài)與平衡解有緊密的聯(lián)系，研究反應(yīng)擴(kuò)散方程組的平衡解就顯得很有必要。本文考慮了幾類有實(shí)際背景的反應(yīng)擴(kuò)散捕食模型的平衡態(tài)模式和Hopf分支。從生物的應(yīng)用角度來看，Hopf分支的研究能夠反映種群間的周期性變化。
　　首先研究了一

2、類推廣了的Schnakenberg模型。考慮了自擴(kuò)散系數(shù)對(duì)于模型的非常數(shù)正平衡解的存在性的影響。利用橢圓型方程組的最大值原理，給出了模型的正平衡解的先驗(yàn)估計(jì)，即正的上界和下界估計(jì)；用能量估計(jì)和隱函數(shù)定理得出非常數(shù)正平衡解的不存在性；用度理論，給出了模型的非常數(shù)正平衡解的存在性。結(jié)論表明對(duì)推廣的Schnakenberg模型，自擴(kuò)散可以導(dǎo)致平衡態(tài)模式。
　　其次考察了一類帶交錯(cuò)擴(kuò)散的三種群捕食模型，主要是研究交錯(cuò)擴(kuò)散項(xiàng)的引入對(duì)模型的非

3、常數(shù)平衡解存在性的影響。利用橢圓型方程組的最大值原理及Harnack不等式給出模型的正平衡解的先驗(yàn)估計(jì)；利用度理論和分支理論分別給出依賴于交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù)的非常數(shù)正平衡解的存在性和分叉現(xiàn)象。結(jié)論表明對(duì)此模型而言，只有交錯(cuò)擴(kuò)散才可以導(dǎo)致平衡態(tài)模式。
　　最后討論了帶Holling II型食餌捕獲項(xiàng)的反應(yīng)擴(kuò)散捕食模型。對(duì)于反應(yīng)擴(kuò)散捕食模型的齊次Neumann邊值問題，我們給出了常數(shù)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，特別是利用迭代技巧，給出了正常數(shù)平衡點(diǎn)的全

4、局漸近穩(wěn)定性；接著給出了模型的長(zhǎng)時(shí)間行為；通過選取與捕獲項(xiàng)有關(guān)的參數(shù)作為Hopf分支參數(shù)，給出了Hopf分支的存在性，利用中心流形定理和規(guī)范型理論，給出了分支方向和分支穩(wěn)定性的計(jì)算公式，而后利用數(shù)值模擬來驗(yàn)證得到的結(jié)論；討論了反應(yīng)擴(kuò)散方程組的非常數(shù)正平衡解的存在性。結(jié)論表明對(duì)此捕食模型而言，自擴(kuò)散可以導(dǎo)致平衡態(tài)模式，且捕獲項(xiàng)的引入可以引起種群的周期性振蕩。對(duì)于反應(yīng)擴(kuò)散捕食模型的齊次Dilichlet邊值問題，首先利用上下解方法給出了共存