B型集合分拆的組合性質(zhì)研究.pdf

1、集合分拆是組合學(xué)中的經(jīng)典和廣泛的研究對象之一,它主要針對一個集合的分拆的各種組合結(jié)構(gòu)進行考察和研究。在過去,人們關(guān)心具有特殊組合性質(zhì)的集合分拆,考慮其計數(shù)、集合分拆的格結(jié)構(gòu),以及定義在集合分拆上的一些統(tǒng)計量的分布情況等等。1995年,代數(shù)組合學(xué)家Reiner最先研究B型集合分拆。他當時的工作主要是關(guān)于非交集合分拆的格結(jié)構(gòu)的B型模擬。然而,B型集合分拆自身的研究,包括各種特殊的B型集合分拆的計數(shù)、塊數(shù)的漸近分布、分拆的極小相交等性質(zhì),幾乎

2、沒有被關(guān)注。這篇論文填補這些空白,同時對經(jīng)典集合分拆的一些優(yōu)美性質(zhì)做B型模擬,其難點主要在于對B型集合分拆的組合結(jié)構(gòu)的深入理解,和對各種變量進行創(chuàng)造性的B型模擬。
　　 本研究分為六個部分。第一章簡介經(jīng)典集合分拆研究的發(fā)展,并簡單回顧B型集合分拆的近期進展。第二章主要介紹B型集合分拆的基本的計數(shù)結(jié)果和組合性質(zhì)。特別地,我們給出無零塊B型集合分拆個數(shù)的多種表達式。該個數(shù)在對B型分拆的組合性質(zhì)的研究中扮演重要角色。在隨后的兩章中,我

3、們研究B型集合分拆的子塊對的個數(shù)的漸近性質(zhì)。我們在第三章給出子塊對個數(shù)的期望與方差的準確表達式,并利用復(fù)分析知識給出它們的漸近表達式。同時我們也對無零塊的B型分拆做類似研究。這些表達式都是新結(jié)果。在第四章中我們證明,不論考慮全部B型分拆還是無零塊B型分拆,其子塊對的個數(shù)的極限分布都是正態(tài)的。這些也都是新結(jié)果。我們證明極限正態(tài)分布主要基于一個已有的判別準則。簡單地說,如果隨機變量的方差趨近于無窮大,而相應(yīng)的生成多項式只有實數(shù)根,則其極限分

4、布正態(tài)。前者我們在第三章中已驗證,后者借助第二章中給出的遞歸關(guān)系式可以證明。第五章考察集合分拆的極小相交性。我們給出一個公式計數(shù)極小相交的B型集合分拆的r元有序組,同時也對無零塊B型集合分拆做類似研究。這些公式都是新結(jié)果,它們可以被看做是Pittel對經(jīng)典集合分拆所做的計數(shù)公式的B型模擬。然而,研究B型集合分拆時,其組合設(shè)置相對于研究經(jīng)典分拆中的設(shè)置來說更加復(fù)雜。特別地,我們得到Benoumhani公式的一個新證明,這個公式是經(jīng)典的Do

5、bi(n)ski公式的B型模擬。第六章,我們介紹集合分拆中單點和鄰對的對稱分布結(jié)果。Callan曾對此給出一個美妙的組合算法,它誘導(dǎo)出該對稱性的對合證明。我們試圖探索B型分拆是否具有類似漂亮的對稱性質(zhì)。為此,我們在B型分拆中合理定義單點對和鄰點對的概念,并證明無零塊B型分拆中單點對和鄰點對的對稱分布性。特別地,我們得到Bernhart定理的B型模擬。最后包含兩個附錄。附錄A由一些有關(guān)數(shù)學(xué)分析的引理構(gòu)成,它們在第二章和第三章中會被用到；在