分拆理論中的組合方法.pdf

1、C o m b i n a t o r i a l me t h o d s o n p a r t i t i o n t h e o r y J i n g - Y u Z h a o摘要分拆 理論產(chǎn)生于十八世紀(jì)，E u l e r 首先對(duì)它進(jìn)行研究.其后經(jīng)由C a y l e y 、G a u s s、 H a r d y、 J a c o b i 、 L a g r a n g e、 L e g e n d r e、

2、L i t t l e w o o d、 R a d e ma c h e r、 R a m a n u j a n 、S c h u r 、S y l v e s t e r 還有M a c M a h o n 等人發(fā)展. 現(xiàn)在分拆 理論仍然吸 引 著許多數(shù)學(xué)家. 迄今為止大量的分拆定理被發(fā)現(xiàn)及證明 ( 用新方法) . 我們 無(wú)法逐個(gè) 列出 這些數(shù)學(xué)家的 名字. 在這些數(shù)學(xué)家中，A n d r e w : 作為當(dāng)代分拆理 論的領(lǐng)導(dǎo)人物

3、對(duì)充實(shí)這個(gè)領(lǐng)域做出了巨大貢獻(xiàn)。幾乎所有的分拆定理都與組 合恒等式或基本超幾何級(jí)數(shù)有關(guān).這其中 最 著名的恒等式之一是R o g e r s - R a m a n u j a n 恒等式( 1 . 1 . 2 ) 及 ( 1 . 1 . 3 ) . 它們可以 用分 拆理論來(lái)描述「 6 0 , C h . 3 1 .M a c M a h o n與 S c h u r [ 6 9 ] 用分拆理論解釋 R o g e r s - R

4、a m a n u j a n 恒等式這一開(kāi) 創(chuàng) 性工作促使對(duì)這一類分拆定理的研究. 1 9 2 6 年 S h c u r [ 7 0 ] 證明了T h e o r e m 3 . 1 . 1 .1 9 2 8 年G l e i s s b e r g [ 4 5 ] 將S c h u r 定 理推廣到一個(gè)關(guān)于 模大于3 的形式〔 定 理3 . 1 . 2 ) .G o l l n i t z [ 4 6 ] 于1 9 6 7

5、年證明了 他的一個(gè)定理， 該定理可以被看 作是 S c h u : 定理一個(gè) 3 個(gè)共扼 類的擴(kuò)展，A l l a d i 、A n d r e w s 和 B e r k o v i c h [ 3 ] 證明了 一個(gè)含 4 個(gè)參數(shù)的 關(guān)健恒等式 ，并由其得到一個(gè)更深層次的分拆定理 ( 定理 6 . 2 . 1 ) . 定理6 2 . 1 可以 看作是G o l l n i t z 定理的下一個(gè)層次的 擴(kuò)展.在這 篇論文中， 我們 首

6、先用o v e r p a r t i t i o n s 的 形式給出 一個(gè)簡(jiǎn)單的 對(duì)合[ 3 4 1 , 通 過(guò)G a u s s i a n 系數(shù)的 乘積定義來(lái)解釋它. 在陳 述這個(gè)對(duì)合的過(guò)程中 ， 表示o v e r - p a r t i t i o n 時(shí) 用到的上劃線被賦予了 權(quán)。接下 來(lái)我們給出另一個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)合〔 3 5 ] 用來(lái)解釋G l e i s s b e r g 定 理的關(guān) 鍵恒 等式。 在證明 過(guò)程中 用到了

7、J o i c h i - S t a n t o n 的 插入算法及o v e r p a r t i t i o n .之 后我們 把注意力集中在構(gòu) 造某兩種特定分拆集合之間的雙射問(wèn)題上[ 3 5 1 . 該特定的分拆集合是 S h c u r 類型的分拆定理中涉及到的. 首先我們給出G o l l n i t z 定 理中的 兩個(gè)分拆集合之間的 一個(gè)一一 對(duì)應(yīng). 然后將其推廣到 A l l a d i , A n d r e

8、 w s 及G o r d o n ( 4 1 的一般形式上。 在進(jìn)一 步擴(kuò)展之后我們給出一個(gè)更普遍的分拆定 理. 該定理可也看作G o 1 1 n i t z 定理擴(kuò) 展形式。我們?cè)诘?6 節(jié)列出一些相關(guān)的問(wèn)題. 這一節(jié)中的定理 已經(jīng)被證明，而我們 關(guān)心的是還未被給出的組合證明. 在這一節(jié)的最后我們將 A n d r e w s 的一個(gè)分拆 定理[ 1 3 ] 部分地推廣并得到一個(gè)新的關(guān)于分拆部分模k r ( k > 2 ,

9、: > 2) 的 形 式 證明 方法用到了M a c M a h o n M o d u l a r d i a g r a m ( 6 1 ] ,我們 將一個(gè)關(guān)于單峰性的猜想放在最后一節(jié)。 我們猜測(cè)一種q - E u l e ; 多項(xiàng) 式A n ( q ) 是單峰，l o g - 凹的.A( q ) 是u p - d o w n 排列的一種q 模擬。關(guān)鍵詞: 分拆，o v e r p a r t i t i o n ，

10、 雙射， 對(duì)合， 剩余類， 排列， 主指標(biāo)，q 摸擬， 單峰， l o g 一 凹，螺旋的南開(kāi)大學(xué)學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書(shū)本人完全了解南開(kāi)大學(xué)關(guān)于收集、 保存、 使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意如下各項(xiàng)內(nèi) 容:按照學(xué)校要求提交學(xué)位論文的印刷本和電子版本;學(xué)校有權(quán)保存學(xué)位論文的印刷木和電 子版，并采用影印、縮印、掃描、 數(shù)字化或其它手段保存論文; 學(xué)校有權(quán)提供目 錄檢索以及提供本學(xué)位論文全文或者部分的閱覽服務(wù); 學(xué)校有權(quán)按有關(guān)規(guī)定向國(guó) 家有關(guān)部門(mén)

11、或者機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版; 在不以 贏利為目的的前提下，學(xué)校可以 適當(dāng)復(fù)制論文的部分或全部?jī)?nèi) 容用于學(xué)術(shù)活動(dòng)。學(xué)位論文作者簽名:z - q t d - 年亡 月3 。 日經(jīng)指導(dǎo)教師同意，本學(xué)位論文屬于保密，在 年解密后適用本授權(quán)書(shū)。指導(dǎo)教師簽名: 學(xué)位論文作者簽名: - k L *解 密 時(shí) 間: 年 月 日各密級(jí)的最 l 保密年限及書(shū)寫(xiě)格式規(guī)定如下:內(nèi) 部 5 年 〔 最長(zhǎng)5 年， 可少 子5 年)秘密★1 0 年 ( 最長(zhǎng)7