圓形彈子球體系的量子譜分析.pdf

1、自從Gutzwiller提出態(tài)密度的周期軌道理論以來，周期軌道理論已經成為人們研究定態(tài)體系的量子譜和所對應粒子經典運動關系的主要工具。對可積體系和混沌體系運動行為的經典力學和量子力學之間關系的研究一直延續(xù)不斷。用半經典的方法來研究粒子經典運動已成為處理某些量子問題必不可少的工具。對于體系的量子描述和經典描述的對應關系，該理論也給出了深層次的解釋。 近年來，納米技術越來越受到人們的青睞，微腔結構及其輸運問題成為人們的熱門話題。微腔

2、輸運性質的研究可以采用量子臺球作為模型，在研究動力學性質特別是量子混沌中，這種模型已經證明是很有意義的，在理論上和實驗上都有很好的發(fā)展前景。 早期的量子力學中，半經典技術給出的WKB(Wentzel-Kramers-Brillouin)量子化方法和EBK(Einstein-Brillouin-Keller)量子化方法分別適用于一維體系和n個自由度的體系。但是，這些半經典量子化方法僅適用于可積體系。Gutzwiller從格林函數(shù)跡

3、的精確量子表達式出發(fā)，用格林函數(shù)的半經典近似代替它的量子形式，應用穩(wěn)定相近似得到態(tài)密度的半經典表達式。Gutzwiller的半經典跡公式實用于完全混沌的體系。在量子力學中，存在著各種各樣的半經典的計算方法，這些方法有利于我們提高對一個體系的經典與量子性質，以及它們之間相互作用的認識。 應用近年來提出的新量子譜函數(shù)，把閉合軌道理論推廣到開軌道的情況。這種新量子譜函數(shù)的傅立葉變換包含了體系從一個給定點到另一個給定點的許多經典軌道的信

4、息。本文以二維無限深圓形勢阱，利用它們的能量本征值和本征函數(shù)，用不同的態(tài)密度公式，計算在閉合軌道和開軌道兩種不同的情況下量子能態(tài)密度的傅立葉變化ρ(L)。在|ρ(L)|2隨L變化的函數(shù)圖像中給出了一系列的峰，量子峰的位置與用經典軌道得到的軌道長度符合的很好，這不但說明周期軌道理論(閉合軌道理論)的正確性，也說明我們的開軌道理論的正確性，還給出了量子描述和經典描述精確符合的例子。 本文應用開軌道理論，采用系統(tǒng)的解析解與數(shù)值解相結合

5、的方法，研究了兩維圓形腔中的彈子球的量子譜和經典軌道之間的對應關系。在此基礎上，我們還研究了圓形勢阱的變形，半圓勢阱和四分之一圓勢阱的情況。通過比較他們的傅立葉變換譜和經典軌道，結果發(fā)現(xiàn)量子譜的峰位置與經典軌道的長度在誤差允許的范圍內符合得很好。我們應用此理論，進一步分析了無限深圓環(huán)勢阱量子峰的位置和經典軌道長度之間的關系。 論文共分為四章。第一章為綜述，從總體上介紹了半經典閉合軌道理論的要點及其發(fā)展。第二章介紹了周期軌道理論在

6、圓形無限深勢阱中的應用。第三章專門研究圓形無限深勢阱及其變形(半圓和四分之一圓)勢阱，應用最近提出的開軌道理論，尋求他們的經典描述和量子描述之間的關系，以及他們之間的對應關系。并把所得到的結果進行比較。第四章應用閉合軌道理論，研究無限深圓勢阱，我們用幾何的方法詳細的給出了經典軌道的信息(形狀、軌道長度)，并把這些軌道和體系的傅立葉變換的量子譜的峰值一一對。通過比較他們的傅立葉變換譜和經典軌道，結果發(fā)現(xiàn)量子譜的峰位置與經典軌道的長度在誤差