Clifford分析中高維空間上兩類高階T算子的性質(zhì).pdf

1、本文研究了Clifford分析中兩個高階奇異的T(Teodorescu)算子的基本性質(zhì).T算子是一個定義在區(qū)域上的奇異積分算子，它在廣義解析函數(shù)理論以及Vekua方程組中起著非常重要的作用，而Vekua方程組與平面彈性力學(xué)，殼理論，空氣動力學(xué)等許多學(xué)科都密切相關(guān),所以研究各種空間中T算子的性質(zhì)是非常有必要的.同時T算子是非齊次Dirac方程的廣義解，因此它在研究非齊次Dirac方程通解的積分表達(dá)式以及許多邊值問題中發(fā)揮著關(guān)鍵作用.

2、>　　 在復(fù)分析中許多關(guān)于T算子的理論發(fā)展地很完善，但在Clifford分析中，T算子，尤其是高階奇異的T算子的性質(zhì)還沒有相應(yīng)的結(jié)論.Clifford分析中的T算子是復(fù)平面上T算子在高維空間中的推廣，它與復(fù)平面中的T算子有著許多相同的性質(zhì).同時Clifford分析中的高階奇異的T算子也有著許多好的性質(zhì)和應(yīng)用.本文著重研究了Clifford分析中一個具有高階奇性的廣義Teodorescu算子的基本性質(zhì)，得到了這個算子在整個Rn空間中的一

3、致有界性，H(o)lder 連續(xù)性.同時本文還證明了這個算子的γ次可積性.另外，本文還研究了定義于Lp;n(Ω)空間上的一個高階奇異的T算子的許多基本性質(zhì)，得到了這個算子在整個Rn空間中的一致有界性，H(o)lder 連續(xù)性以及算子在無窮遠(yuǎn)點的性質(zhì).本文共分為三章.
　　 第一章，給出了本文所需的預(yù)備知識.
　　 第二章，研究了一個有界區(qū)域上的高階奇異的T算子的性質(zhì)，證明了這個算子在整個Rn空間中的一致有界性，H(o)l

4、der連續(xù)性以及γ次可積性.首先給出了幾個重要引理以及不等式，這些引理及不等式在證明后面的結(jié)論時都有著重要的作用.然后，我們給出了有界區(qū)域上的高階T算子的定義.利用H(o)lder不等式和引理2.5證明了這個算子在整個Rn空間中的一致有界性.然后利用H(o)lder不等式，引理2.2，Hile引理以及Hadamard引理證明了這個算子在Rn空間中的H(o)lder連續(xù)性.最后我們利用H(o)lder不等式證明了這個高階T算子關(guān)于x是γ次

5、可積函數(shù)，即將空間Lp(Ω)上的函數(shù)映到了函數(shù)空間Lγ(Ω)上.這里采用的主要手法是把奇性指標(biāo)拆分為我們需要的形式進(jìn)行證明.在本章中值得強(qiáng)調(diào)的是我們在定理證明過程中引入了指標(biāo)記號，這樣就把復(fù)雜的公式化為簡潔的形式，大大方便了計算.
　　 第三章，主要研究了定義于Lp;n(Ω)空間上的一個高階奇異的T算子的許多基本性質(zhì),得到了這個算子在整個Rn空間中的一致有界性，H(o)lder 連續(xù)性以及算子在無窮遠(yuǎn)點的性質(zhì).首先給出兩個引理，

6、又證明了兩個重要的不等式.然后給出了定義于Lp;n(Ω)空間上的一個高階T算子.同時利用引理中的不等式證明了該算子的一致有界性和H(o)lder 連續(xù)性.
　　 在證明該高階T算子的H(o)lder 連續(xù)性時，我們通過定理3.2證明了參數(shù)指標(biāo)α∈ [1/2，1)時,高階T算子的H(o)lder連續(xù)性,而定理7證明了α∈ [0 ,1/2)時,高階T算子的H(o)lder連續(xù)性.需要注意的是,函數(shù)f(x)在兩個定理中要滿足的條件是不

7、同的.最后，我們研究了這個算子在無窮遠(yuǎn)處的性質(zhì)，即當(dāng)x→∞時，|(Tf)(x)| →∞,并且在無窮遠(yuǎn)點附近，(Tf)(x)是|x|n/p-(n+α-1)的同階無窮小.
　　 T算子在廣義正則函數(shù)的積分表示中起到了關(guān)鍵作用，它在復(fù)分析，四元數(shù)分析以及Clifford 分析中都有很好的應(yīng)用.本文表明，在Clifford分析中，我們研究的兩個不同函數(shù)空間上的高階T算子與普通T算子理論一樣，也有許多良好的性質(zhì)，例如: 有界性,H(o)l