具有擬周期強(qiáng)迫的非線性梁方程擬周期解的存在性.pdf

1、本文，我們研究非線性梁方程.梁方程起源于Euler-Bernoulli梁方程.研究梁方程的經(jīng)典梁理論是線性彈性理論的簡(jiǎn)單化，它提供了一種計(jì)算梁的載重和偏轉(zhuǎn)特性的方法.最早在大約1750年被提出，但并沒有大規(guī)模應(yīng)用，直到19世紀(jì)末Eiffel鐵塔和Ferris大轉(zhuǎn)輪的建造.緊跟著這些成功的范例，梁方程及其理論變成工程學(xué)的基石并推動(dòng)了第二次工業(yè)革命.目前，梁方程在物理、工程、材料學(xué)上都有長(zhǎng)足發(fā)展.本文主要研究如下非線性梁方程模型:uxxxx

2、+utt=F(t，x，u)，其中F為加入的某非線性項(xiàng)。
　　 以上非線性梁方程描述了一種沒有能量耗散的過程，在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)下，它可以看做一種無窮維Hamilton系統(tǒng).這種嚴(yán)格的性質(zhì)使我們可以把它當(dāng)做一種Hamilton動(dòng)力系統(tǒng)來研究，并把一些在有限維系統(tǒng)中成熟的方法和理論推廣過來。
　　 對(duì)于Hamilton系統(tǒng)，人們比較關(guān)心相空間的動(dòng)力學(xué)行為.然而，除了少數(shù)可積系統(tǒng)外，對(duì)軌道的動(dòng)力學(xué)行為并不清楚.從上世紀(jì)60年代以來，

3、數(shù)學(xué)家們轉(zhuǎn)而研究近可積系統(tǒng)，這類系統(tǒng)是除可積系統(tǒng)外非常重要而又簡(jiǎn)單的系統(tǒng).研究有限維Hamilton系統(tǒng)的周期解是認(rèn)識(shí)其動(dòng)力學(xué)行為的一個(gè)重要課題.對(duì)于無窮維近可積Hamilton系統(tǒng)，我們不但要考慮周期解，也要考慮其擬周期解、概周期解.目前研究無窮維Hamilton系統(tǒng)的周期解、擬周期解主要有兩種方法.一種方法是Craig-Wayne-Bourgain法，它從Liapunov-Schmidt分解和Newton迭代發(fā)展而來.另一種方法就是

4、由經(jīng)典KAM理論推廣而來的無窮維KAM理論，而后者是本文的主要研究方法.經(jīng)典的KAM理論在上世紀(jì)五、六十年代由三位著名數(shù)學(xué)家Kolmogorov[1]，Arnold[2]，Moser[3]建立.該理論是Hamilton系統(tǒng)理論發(fā)展的里程碑，它合理解釋了太陽(yáng)系的穩(wěn)定性，在上世紀(jì)九十年代被Waync[4]和Kuksin[5]推廣到了無窮維Hamilton系統(tǒng)，并由P(o)schel[6]重新敘述.無窮維KAM理論推廣了有限維的經(jīng)典結(jié)論，是處

5、理因“小除數(shù)”問題導(dǎo)致的正則性缺失的有效手段.而且它彌補(bǔ)了變分法的不足，得到的解是局部的、攝動(dòng)的，具有小振幅。
　　 無窮維KAM理論及其結(jié)論被運(yùn)用到多種偏微分方程模型擬周期解存在性問題的研究中.比如，含參數(shù)的一維非線性Schr(o)dinger方程(NLS)iut-uxx+V(x，ξ)u=f（u），以及含參數(shù)的一維非線性波動(dòng)方程(NLW)utt-uxx+V(x，ξ)u=f（u），其中V和f為滿足一定條件的函數(shù)，ξ為參數(shù).但是不

6、能直接運(yùn)用到勢(shì)能函數(shù)V是一些特殊類型函數(shù)的方程中，比如V為常數(shù)的情況.P(o)schcl[7]開發(fā)了Birkhoff標(biāo)準(zhǔn)型的方法用來處理在Dirichlet邊界條件下非線性波動(dòng)方程勢(shì)能函數(shù)是常數(shù)的情況.這種方法又被Kuksin和P(o)schel[8]運(yùn)用到證明非線性Schr(o)dinger方程相應(yīng)于Dirichlet或Neumann邊界條件擬周期解的存在性.類似于波動(dòng)方程和Schr(o)dinger方程，尤建功和耿建生[9]利用KA

7、M理論和標(biāo)準(zhǔn)型方法證明了鉸鏈邊界條件下的梁方程擬周期解的存在性.另外值得一提的是，袁小平[10]利用KAM方法巧妙地解決了一維完全共振的波動(dòng)方程擬周期解存在性問題。
　　 周期邊界條件的情況則更為復(fù)雜，這是因?yàn)镾turm-Liouville算子L=-d2/dx2+V的特征值出現(xiàn)了重根的情況.Craig和Wayne[11，12]開發(fā)了基于Lyapunov-Schmidt分解和Fr(o)hlich和Spencer[13]技術(shù)的一種新

8、技術(shù).運(yùn)用這種技術(shù)，他們[11]證明了在周期邊界條件下非線性波動(dòng)方程周期解的存在性.后來，他們的方法被Bourgain[14，15]推廣并改進(jìn)，運(yùn)用到證明周期邊界條件下非線性波動(dòng)方程和非線性Schr(o)dinger方程擬周期解的存在性問題上.耿建生和尤建功[16，17]，梁振國(guó)[18]則成功運(yùn)用KAM方法處理周期邊界條件下的偏微分方程.另外，Bricmont，Kupiainen，和Schenkel[19]利用重正化群的方法證明了非線性

9、波動(dòng)方程擬周期的、低維橢圓環(huán)面的存在性，這是一種區(qū)別與以往的新方法。
　　 而高維Hamilton偏微分方程的情況比較困難.Bourgain[20]首先證明了2維非線性Schr(o)dinger方程具有小振幅的擬周期解.他[21]改進(jìn)了自己的方法，并證明高維非線性Schr(o)dinger方程和波動(dòng)方程具有小振幅的擬周期解.后來，耿建生和尤建功[17，22]證明了高維非線性梁方程和非局部的非線性Schr(o)dinger方程具有

10、小振幅的線性穩(wěn)定的擬周期解.Eliasson和Kuksin[23]證明了高維非線性Schr(o)dinger方程小振幅的線性穩(wěn)定的擬周期解的存在性.最近，耿建生和尤建功[24]獲得了高維cubicSchr(o)dinger方程的擬周期解。
　　 本文主要研究含有強(qiáng)迫項(xiàng)的方程的解的存在性問題.當(dāng)強(qiáng)迫項(xiàng)是周期的時(shí)候，周期解的存在性常常用變分方法和Lyapunov-Schmidt分解法解決.對(duì)于擬周期解的存在性，Berti和Proce

11、si[25]證明了周期強(qiáng)迫下完全共振的波動(dòng)方程擬周期解的存在性.Jiao和王弈倩[26]用標(biāo)準(zhǔn)型和KAM方法證明了擬周期強(qiáng)迫下的Schr(o)dinger方程擬周期解的存在性.張敏和司建國(guó)[27]，司建國(guó)[28]分別研究了帶有擬周期強(qiáng)迫的非線性波動(dòng)方程在Dirichlet邊界條件下和在周期邊界條件下擬周期解的存在性.Eliasson和Kuksin[29]解決了在周期邊界條件下帶擬周期強(qiáng)迫的高維非線性Schr(o)dinger方程擬周期解

12、的存在性問題。
　　 本文將研究非線性梁方程utt+uxxxx+μu+εg(ωt,x)u3=0,μ＞0,x∈[0,π]，和utt+uxxxx+(μ)u+(εφ)(t)h(u)=0，(μ)＞0在鉸鏈邊界條件下擬周期解的存在性，其中ε和(ε)為小的正參數(shù)，ω=(ω1，ω2，…，ωm)∈[(e)，2(e)]m((e)＞0)是一個(gè)頻率向量，函數(shù)g(ωt，x)=g（(v)，x），它對(duì)兩個(gè)變量（(v)，x）∈(T)m×[0，π]都是實(shí)解析的

13、，而且對(duì)于變量t是擬周期的，非線性項(xiàng)h是實(shí)解析的奇函數(shù)h（u）=η1u+η2(r)+1u2(r)+1+∑k≥(r)+1η2k+1u2k+1，η1，η2(r)+1≠0，(r)∈(N)，(φ)是一個(gè)實(shí)解析的關(guān)于時(shí)間變量t的擬周期函數(shù)。
　　 這兩個(gè)問題既有共同之處，也有不同之處.相同之處在于，它們的非線性項(xiàng)中都含有時(shí)間變量.不同之處在于第一個(gè)方程的非線性項(xiàng)中含有空間變量，而第二方程的非線性項(xiàng)中雖然沒有空間變量，但是第二個(gè)方程的勢(shì)能函

14、數(shù)不是常數(shù)而與時(shí)間變量有關(guān).所以這兩個(gè)問題的處理有所不同。
　　 我們采用的主要方法是把方程化為無窮維Hamilton系統(tǒng)的Birkhoff標(biāo)準(zhǔn)型，然后利用現(xiàn)有的無窮維KAM理論的結(jié)果找出擬周期解。
　　 第一個(gè)問題的難點(diǎn)在于證明存在一個(gè)辛的解析變換把Hamilton函數(shù)化為其Birkhoff正規(guī)型.由于攝動(dòng)項(xiàng)中空間變量的緣故，我們失去了通常而言重要的條件i±j±d±l=0.因此，證明的主要困難有兩點(diǎn).一是“小除數(shù)”的測(cè)

15、度估計(jì)問題，一方面，當(dāng)估計(jì)測(cè)度時(shí)，條件i±j±d±l=0通常很重要，另一方面，與Schr(o)dinger方程不同，梁方程的特征值不是整數(shù)，這些無疑對(duì)測(cè)度估計(jì)增加了難度.另一個(gè)困難是如何證明辛坐標(biāo)變換的解析性，我們建立了一個(gè)技術(shù)性引理，并通過獲取Fourier余弦級(jí)數(shù)的技巧克服這個(gè)困難。
　　 然而，對(duì)于第二個(gè)問題，一個(gè)大的難點(diǎn)在于無窮維線性擬周期系統(tǒng)的可約化性問題.因?yàn)?，我們不得不把?shì)能函數(shù)化為常數(shù)函數(shù).實(shí)際上，這個(gè)問題本身就

16、是一個(gè)有趣的開問題.本文，我們將建立一個(gè)無窮維KAM定理來解決該問題。
　　 本文由三章組成，主要內(nèi)容如下:
　　 第一章：給出Hamilton系統(tǒng)和KAM理論的相關(guān)知識(shí).主要包括三節(jié)內(nèi)容.第一節(jié)我們簡(jiǎn)要介紹非線性梁方程模型的由來和問題的研究背景.第二節(jié)我們介紹有限維Hamilton系統(tǒng)的知識(shí)，敘述經(jīng)典的KAM理論，包括辛結(jié)構(gòu)的定義、Darboux定理、Liouville定理、Liouville可積性定理、完全可積系統(tǒng)和

17、近可積系統(tǒng)的定義等，并介紹Birkhoff正規(guī)型的相關(guān)結(jié)論.第三節(jié)主要介紹無窮維Hamilton系統(tǒng)和KAM理論，并敘述Kuksin著名的抽象無窮維KAM定理.最后簡(jiǎn)要敘述相關(guān)的研究進(jìn)展。
　　 第二章：將研究攝動(dòng)項(xiàng)具有擬周期強(qiáng)迫且依賴于空間變量的非線性梁方程擬周期解的存在性.首先介紹問題的研究背景，然后給出主要結(jié)論.要解決這個(gè)問題，需要把偏微分方程化為其Hamilton形式，然后再化成Birkhoff正規(guī)型.我們還將介紹一個(gè)基