具有擬周期強迫的非線性梁方程擬周期解的存在性.pdf

1、本文，我們研究非線性梁方程.梁方程起源于Euler-Bernoulli梁方程.研究梁方程的經(jīng)典梁理論是線性彈性理論的簡單化，它提供了一種計算梁的載重和偏轉(zhuǎn)特性的方法.最早在大約1750年被提出，但并沒有大規(guī)模應用，直到19世紀末Eiffel鐵塔和Ferris大轉(zhuǎn)輪的建造.緊跟著這些成功的范例，梁方程及其理論變成工程學的基石并推動了第二次工業(yè)革命.目前，梁方程在物理、工程、材料學上都有長足發(fā)展.本文主要研究如下非線性梁方程模型:uxxxx

2、+utt=F(t，x，u)，其中F為加入的某非線性項。
　　 以上非線性梁方程描述了一種沒有能量耗散的過程，在適當?shù)淖鴺讼?，它可以看做一種無窮維Hamilton系統(tǒng).這種嚴格的性質(zhì)使我們可以把它當做一種Hamilton動力系統(tǒng)來研究，并把一些在有限維系統(tǒng)中成熟的方法和理論推廣過來。
　　 對于Hamilton系統(tǒng)，人們比較關心相空間的動力學行為.然而，除了少數(shù)可積系統(tǒng)外，對軌道的動力學行為并不清楚.從上世紀60年代以來，

3、數(shù)學家們轉(zhuǎn)而研究近可積系統(tǒng)，這類系統(tǒng)是除可積系統(tǒng)外非常重要而又簡單的系統(tǒng).研究有限維Hamilton系統(tǒng)的周期解是認識其動力學行為的一個重要課題.對于無窮維近可積Hamilton系統(tǒng)，我們不但要考慮周期解，也要考慮其擬周期解、概周期解.目前研究無窮維Hamilton系統(tǒng)的周期解、擬周期解主要有兩種方法.一種方法是Craig-Wayne-Bourgain法，它從Liapunov-Schmidt分解和Newton迭代發(fā)展而來.另一種方法就是

4、由經(jīng)典KAM理論推廣而來的無窮維KAM理論，而后者是本文的主要研究方法.經(jīng)典的KAM理論在上世紀五、六十年代由三位著名數(shù)學家Kolmogorov[1]，Arnold[2]，Moser[3]建立.該理論是Hamilton系統(tǒng)理論發(fā)展的里程碑，它合理解釋了太陽系的穩(wěn)定性，在上世紀九十年代被Waync[4]和Kuksin[5]推廣到了無窮維Hamilton系統(tǒng)，并由P(o)schel[6]重新敘述.無窮維KAM理論推廣了有限維的經(jīng)典結論，是處

5、理因“小除數(shù)”問題導致的正則性缺失的有效手段.而且它彌補了變分法的不足，得到的解是局部的、攝動的，具有小振幅。
　　 無窮維KAM理論及其結論被運用到多種偏微分方程模型擬周期解存在性問題的研究中.比如，含參數(shù)的一維非線性Schr(o)dinger方程(NLS)iut-uxx+V(x，ξ)u=f（u），以及含參數(shù)的一維非線性波動方程(NLW)utt-uxx+V(x，ξ)u=f（u），其中V和f為滿足一定條件的函數(shù)，ξ為參數(shù).但是不

6、能直接運用到勢能函數(shù)V是一些特殊類型函數(shù)的方程中，比如V為常數(shù)的情況.P(o)schcl[7]開發(fā)了Birkhoff標準型的方法用來處理在Dirichlet邊界條件下非線性波動方程勢能函數(shù)是常數(shù)的情況.這種方法又被Kuksin和P(o)schel[8]運用到證明非線性Schr(o)dinger方程相應于Dirichlet或Neumann邊界條件擬周期解的存在性.類似于波動方程和Schr(o)dinger方程，尤建功和耿建生[9]利用KA

7、M理論和標準型方法證明了鉸鏈邊界條件下的梁方程擬周期解的存在性.另外值得一提的是，袁小平[10]利用KAM方法巧妙地解決了一維完全共振的波動方程擬周期解存在性問題。
　　 周期邊界條件的情況則更為復雜，這是因為Sturm-Liouville算子L=-d2/dx2+V的特征值出現(xiàn)了重根的情況.Craig和Wayne[11，12]開發(fā)了基于Lyapunov-Schmidt分解和Fr(o)hlich和Spencer[13]技術的一種新

8、技術.運用這種技術，他們[11]證明了在周期邊界條件下非線性波動方程周期解的存在性.后來，他們的方法被Bourgain[14，15]推廣并改進，運用到證明周期邊界條件下非線性波動方程和非線性Schr(o)dinger方程擬周期解的存在性問題上.耿建生和尤建功[16，17]，梁振國[18]則成功運用KAM方法處理周期邊界條件下的偏微分方程.另外，Bricmont，Kupiainen，和Schenkel[19]利用重正化群的方法證明了非線性

9、波動方程擬周期的、低維橢圓環(huán)面的存在性，這是一種區(qū)別與以往的新方法。
　　 而高維Hamilton偏微分方程的情況比較困難.Bourgain[20]首先證明了2維非線性Schr(o)dinger方程具有小振幅的擬周期解.他[21]改進了自己的方法，并證明高維非線性Schr(o)dinger方程和波動方程具有小振幅的擬周期解.后來，耿建生和尤建功[17，22]證明了高維非線性梁方程和非局部的非線性Schr(o)dinger方程具有

10、小振幅的線性穩(wěn)定的擬周期解.Eliasson和Kuksin[23]證明了高維非線性Schr(o)dinger方程小振幅的線性穩(wěn)定的擬周期解的存在性.最近，耿建生和尤建功[24]獲得了高維cubicSchr(o)dinger方程的擬周期解。
　　 本文主要研究含有強迫項的方程的解的存在性問題.當強迫項是周期的時候，周期解的存在性常常用變分方法和Lyapunov-Schmidt分解法解決.對于擬周期解的存在性，Berti和Proce

11、si[25]證明了周期強迫下完全共振的波動方程擬周期解的存在性.Jiao和王弈倩[26]用標準型和KAM方法證明了擬周期強迫下的Schr(o)dinger方程擬周期解的存在性.張敏和司建國[27]，司建國[28]分別研究了帶有擬周期強迫的非線性波動方程在Dirichlet邊界條件下和在周期邊界條件下擬周期解的存在性.Eliasson和Kuksin[29]解決了在周期邊界條件下帶擬周期強迫的高維非線性Schr(o)dinger方程擬周期解

12、的存在性問題。
　　 本文將研究非線性梁方程utt+uxxxx+μu+εg(ωt,x)u3=0,μ＞0,x∈[0,π]，和utt+uxxxx+(μ)u+(εφ)(t)h(u)=0，(μ)＞0在鉸鏈邊界條件下擬周期解的存在性，其中ε和(ε)為小的正參數(shù)，ω=(ω1，ω2，…，ωm)∈[(e)，2(e)]m((e)＞0)是一個頻率向量，函數(shù)g(ωt，x)=g（(v)，x），它對兩個變量（(v)，x）∈(T)m×[0，π]都是實解析的

13、，而且對于變量t是擬周期的，非線性項h是實解析的奇函數(shù)h（u）=η1u+η2(r)+1u2(r)+1+∑k≥(r)+1η2k+1u2k+1，η1，η2(r)+1≠0，(r)∈(N)，(φ)是一個實解析的關于時間變量t的擬周期函數(shù)。
　　 這兩個問題既有共同之處，也有不同之處.相同之處在于，它們的非線性項中都含有時間變量.不同之處在于第一個方程的非線性項中含有空間變量，而第二方程的非線性項中雖然沒有空間變量，但是第二個方程的勢能函

14、數(shù)不是常數(shù)而與時間變量有關.所以這兩個問題的處理有所不同。
　　 我們采用的主要方法是把方程化為無窮維Hamilton系統(tǒng)的Birkhoff標準型，然后利用現(xiàn)有的無窮維KAM理論的結果找出擬周期解。
　　 第一個問題的難點在于證明存在一個辛的解析變換把Hamilton函數(shù)化為其Birkhoff正規(guī)型.由于攝動項中空間變量的緣故，我們失去了通常而言重要的條件i±j±d±l=0.因此，證明的主要困難有兩點.一是“小除數(shù)”的測

15、度估計問題，一方面，當估計測度時，條件i±j±d±l=0通常很重要，另一方面，與Schr(o)dinger方程不同，梁方程的特征值不是整數(shù)，這些無疑對測度估計增加了難度.另一個困難是如何證明辛坐標變換的解析性，我們建立了一個技術性引理，并通過獲取Fourier余弦級數(shù)的技巧克服這個困難。
　　 然而，對于第二個問題，一個大的難點在于無窮維線性擬周期系統(tǒng)的可約化性問題.因為，我們不得不把勢能函數(shù)化為常數(shù)函數(shù).實際上，這個問題本身就

16、是一個有趣的開問題.本文，我們將建立一個無窮維KAM定理來解決該問題。
　　 本文由三章組成，主要內(nèi)容如下:
　　 第一章：給出Hamilton系統(tǒng)和KAM理論的相關知識.主要包括三節(jié)內(nèi)容.第一節(jié)我們簡要介紹非線性梁方程模型的由來和問題的研究背景.第二節(jié)我們介紹有限維Hamilton系統(tǒng)的知識，敘述經(jīng)典的KAM理論，包括辛結構的定義、Darboux定理、Liouville定理、Liouville可積性定理、完全可積系統(tǒng)和

17、近可積系統(tǒng)的定義等，并介紹Birkhoff正規(guī)型的相關結論.第三節(jié)主要介紹無窮維Hamilton系統(tǒng)和KAM理論，并敘述Kuksin著名的抽象無窮維KAM定理.最后簡要敘述相關的研究進展。
　　 第二章：將研究攝動項具有擬周期強迫且依賴于空間變量的非線性梁方程擬周期解的存在性.首先介紹問題的研究背景，然后給出主要結論.要解決這個問題，需要把偏微分方程化為其Hamilton形式，然后再化成Birkhoff正規(guī)型.我們還將介紹一個基