帶擬周期強(qiáng)迫的非線性薛定諤方程的擬周期解.pdf

1、本文主要研究一類帶擬周期強(qiáng)迫的非線性Schr(o)dinger方程的擬周期解的存在性.關(guān)于非線性Schr(o)dinger方程的研究在近些年取得了很大的成果，尤其在物理中有很大應(yīng)用價(jià)值.下列形式的非線性Schr(o)dinger方程是Bose-Einstein凝聚態(tài)中平均場(chǎng)的一個(gè)重要模型，iut-（-△+V（x）+m）u+(γ0+γ1γ(t))|u|2u=0，m＞0，γ0，γ1∈R，(0.1)這是Bose-Einstein凝聚態(tài)研究中有

2、關(guān)Feshbach共振控制和光纖通信的非線性的周期補(bǔ)償中最感興趣的一個(gè)問題，很多學(xué)者對(duì)它進(jìn)行了相關(guān)研究.當(dāng)方程(0.1)中的γ(t)關(guān)于時(shí)間t是擬周期函數(shù)時(shí)關(guān)于它的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)以及解的解析性的結(jié)果還是比較少的，本文的研究包括這兩個(gè)方面.
　　本文主要用無窮維KAM理論，得到了一類帶擬周期強(qiáng)迫項(xiàng)的非線性Schr(o)dinger方程的擬周期解的存在性，具體方程為iut-uxx+mu+φ(t)|u|2u=εg(t),(0.2)滿足周期邊

3、界條件u(t,x)=u(t,x+2π),(0.3)其中ε是一個(gè)小參數(shù)，m＞0，φ(t)和g(t)是兩個(gè)關(guān)于t的擬周期函數(shù)，頻率為ω=(ω1，ω2…，ωL)，并對(duì)0＜(p)＜1，Λ＞0滿足ω∈DΛ:={ω∈[(p)，2(p)]L:|＜k，ω＞|≥Λ/|k|L+1，0≠k∈ZL}.可以看出當(dāng)g(t)≠0和ε≠0時(shí)，u≡0不是方程(0.2)的解.為了克服這個(gè)難點(diǎn)，在方程(0.2)中令u=u0(t)+εv(x，t)可以得到一個(gè)擬周期的非線性常微

4、分方程i(u)0+mu0+φ(t)|u0|2u0=εg(t),(0.4)和零為平衡點(diǎn)的帶擬周期強(qiáng)迫項(xiàng)的Schr(o)dinger方程ivt-vxx+mv+φ(t)2|u0|2v+u20(v)+2εu0|v|2+ε(u)0v2+ε2|v|2v)=0,(0.5)通過解這兩個(gè)方程最終得到方程(0.2)的擬周期解u（t,x）.
　　本文的具體安排如下:
　　第一章介紹Hamilton系統(tǒng)的定義和性質(zhì)，辛結(jié)構(gòu)，辛流形的基本定義和性質(zhì)，

5、以及介紹經(jīng)典的KAM理論和一個(gè)無窮維的KAM定理，并給出帶擬周期強(qiáng)迫的非線性Schr(o)dinger方程的研究背景和研究現(xiàn)狀.
　　第二章主要講述了本文的主要結(jié)論以及用KAM理論來證明這個(gè)結(jié)論.我們通過分別求非線性常微分方程(0.4)的解以及帶擬周期強(qiáng)迫項(xiàng)的Schr(o)dinger方程(0.5)的解來得到系統(tǒng)(0.2)+(0.3)的解.具體過程為，我們先用Bibikov引理（見[6]）求解帶擬周期的非線性常微分方程(0.4)并

6、得到該方程的解為u0(t，ξ，ε)=O(ε1/4)，其頻率為(w)(ξ)=(w1，ω2，…，ωL，α(ξ))∈DΛ×Aγ，其中Aγ:={α∈R:|＜k,ω＞+lα|＞γ(|k|+|l|)-（L+1)，0≠（k，l）∈ZL×Z}，然后求解零為平衡點(diǎn)的帶擬周期強(qiáng)迫的非線性Schr(o)dinger方程(0.5).而求解方程(0.5)需要經(jīng)過約化過程來處理擬周期強(qiáng)迫項(xiàng)問題，最后用Birkhoff正規(guī)形方法將方程的Hamilton函數(shù)化為ε3H

7、=＜(w)（ξ），J＞+（w）0（ρ）0+Σ1≤j≤n（w）j（ρ）j+Σj＞n(λ)jzj(z)j+ε3/2Σ1≤i,j≤n(G)*ij（ρ）i(ξ)j+ε3/2Σ1≤i,j≤n(G)*ij(ξ)i（ρ）j+ε3∑1≤i≤n＜j(G)*ij(ξ)i|zj|2+P，(0.6)其中ξ，(ξ)=（(ξ)j）0≤j≤n，(ξ)j∈[0，1]為參數(shù)，并有λj=j2+m，μj=j2+m+O（ε1/2），j=0，1，…，(c)=（[φ]/2π-9[

8、φD(θ，ξ，ε)]2/π(m+2[φD2(θ，ξ，ε)]+O(ε1/2+σ))）(1+O(ε1/4)，cj=([φ]/π-24[φD(θ，ξ，ε)]2/π(m+2[φD2(θ，ξ，ε)]+O（ε1/2+σ））(1+O(ε1/4)),(w)0=μ0+2(c)ε3(ξ)0+ε3∑1≤j≤ncj(ξ)j，(w)j=μj+ε3(ξ)0cj，j=1,…，n，(λ)j=μj+ε3(ξ)0cj，j＞n，24[(G)4iijj]=(3[φ]/π-28

9、8[φD(θ，ξ，ε)]2/πλ0+o(1))（1+O（ε1/4），i≠j，(G)*ij=｛24[(G)4iijj]=(3[φ]/π-288[φD(θ，ξ，ε)]2/πλ0+o(1))（1+O（ε1/4），i≠j，12[(G)4iiii]=(9[φ]/π-144[φD(θ，ξ，ε)]2/π（λ0+λi)+o(1))（1+Oε1/4），i=j.上式中當(dāng)ε→0時(shí)有o(1)→0，和P=ε2(G)**+ε2(G)*+ε3K，(G)**=O(|(

10、ρ)|2)+O(|(ρ)|‖(Z)‖).為了應(yīng)用無窮維的KAM定理，我們引入了新的參數(shù)(w).
　　給定ω-=ω1-,…，ωL-，ωL+1-）∈(Π)*和對(duì)(w_(ξ)=(w1,…，ωL，α(ξ))有(w)(ξ)∈(Π)*={(w)(ξ)∈DΛ×Aγ，:|ωi-ωi-|≤ε，|α(ξ)-ωL+1-(ξ)|≤ε}.引入新的參數(shù)(w)=((w)1，(w)2，…，(w)L，(ω)L+1)使得wj=wj-+ε3(w)j，(w)j∈[0，1

11、]，j=1,…L，α(ξ)=ωL+1-+ε3(w)L+1，(w)L+1∈[0，1].因此Hamilton函數(shù)(0.6)變?yōu)镠=＜(w)(ξ)，(y)＞+＜(Ω)(ξ)，(Z)＞+P,(0.7)其中(w)((ξ))=(w)(ξ)⊕(w)0⊕(w)及(w)=(α)+ε3A(ξ),(Ω)(ξ)=(β)+ε3B(ξ),(ξ)=(w)⊕(ξ)0⊕(ξ)，(ξ)=（(ξ)1，…，(ξ)n），并有(y)=J⊕(ρ)0⊕(ρ)(α)=（(w)1，…，(

12、w)n），(β)=（(λ)n+1，(λ)n+2，…）.經(jīng)過驗(yàn)證可得Hamilton函數(shù)(0.7)符合了P(o)schel中的無窮維KAM定理的條件，從而可以用無窮維KAM理論來證明該Hamilton系統(tǒng)的擬周期解的存在性，即證明了方程(0.5)的解析解的存在性.最后得到了原系統(tǒng)(0.2)+(0.3)的解，即得到本文的主要結(jié)論.
　　本文的主要結(jié)論:
　　假設(shè)φ(t)和g(t)是兩個(gè)關(guān)于t的實(shí)解析擬周期函數(shù)，頻率為ω∈DΛ.對(duì)

13、于任意的指標(biāo)集J={1，2，…，n}，n≥1，都存在一個(gè)充分小的正數(shù)ε*使得對(duì)任意的0＜ε＜ε*，都存在子集(J)（c）[1/1(m+2[φ])，3/2（m+2[φ]）]，(Π)*(∈)DΛ×Aγ和∑ε(∈)∑:=DΛ×Aγ×[0，1]n+1以及meas(J)＞0和meas(∑\∑ε)≤ε，使得對(duì)任意的ξ∈(J)，(ω，α(ξ))∈(Π)*，(ω，α(ξ)，(ξ)0，(ξ)1，…，(ξ)n）∈∑ε，系統(tǒng)(0.2)+(0.3)有下形式的解

14、u(t,x)=u0(t)+ε3/2u1(t,x)+o(ε3/2),u1(t,x):=nΣj=0√(ξ)jei(j2+m)tcos(jx),其頻率為(w)=（ω，α（ξ），（(w)j）0≤j≤n）∈RL+n+2，其中：
　　(1)α，(w)j是證明中構(gòu)造出來的，依賴于ε，參數(shù)ξ和(ξ)=((ξ)0，…，(ξ)n）∈Rn+1.特別的，(w)j=μj(ε）+ε3aj((ξ)，ε)，μj=j2+m+ε1/2((c)j+(r)j(ε))，j

15、=0，1，…，n，這里|aj((ξ)，ε)|≤C|(ξ)|，(c)j是一個(gè)常數(shù)，當(dāng)ε→0時(shí)有|(r)j(ε)|→0;
　　(2)u0(t)是方程(0.4)的一個(gè)非平凡解，依賴于參數(shù)（ξ，ε），頻率為(w，α(ξ))∈DΛ×Aγ，并有u0(t)=O(ε1/4）;
　　(3)u1(t，x)頻率為j2+m是下列線性方程的擬周期解i(u)1-(a)xxu1+mu1=0.
　　第三章是一些測(cè)度估計(jì)的詳細(xì)證明.在第二章中求Hami