若干線性算子與微分從屬在幾何函數(shù)論中的應用.pdf

1、幾何函數(shù)論是經(jīng)典復分析一個重要且富含成果的分支，主要研究各類解析函數(shù)的幾何性質.它在許多重要的數(shù)學分支及其它學科領域有著廣泛地應用，并且一些新的應用不斷呈現(xiàn).需特別強調的是，與幾何函數(shù)論相關的一項令人興奮的新進展是Schramm-Loewner Evolution(SLE)的產(chǎn)生.1999年，結合單葉函數(shù)理論中的Loewner微分方程與隨機分析，Oded Schramm建立了帶一個參數(shù)的SLE的定義.SLE可以被認為是共形映射空間上的B

2、rownian運動，它不僅在數(shù)學而且在統(tǒng)計物理中有著重要的應用.此外，最近，隨著解析函數(shù)空間上的線性算子和解析函數(shù)的微分從屬技術的應用，幾何函數(shù)論本身獲得了迅速地發(fā)展.借助于線性算子與微分從屬，最近人們在幾何函數(shù)論中獲得了關于系數(shù)估計、極值點與閉凸包、星像性與單葉性準則、包含關系、從屬保持等大量的漂亮結果，這正表明性線算子與微分從屬成為這一領域研究中越來越有力及有效的工具.
　　 眾所周知，微分從屬與微分不等式有著密切的聯(lián)系，而

3、大量重要的解析函數(shù)族都是由微分不等式來定義.在本篇博士論文中，通過應用線性算子與微分從屬技術，我們主要考慮與研究某些解析函數(shù)族的一些新的、有趣的性質.全文由如下七章組成.
　　 第一章是緒論，簡要地介紹了幾何函數(shù)論的歷史背景、研究內容、近期的發(fā)展狀況以及本文所做的主要工作和創(chuàng)新點.
　　 第二章中，我們引進了幾類線性算子，結合四類經(jīng)典的解析函數(shù)族的定義與Jung-Kim-Srivastava算子，我們定義了四類新的函數(shù)族

4、.通過應用Miller-Mocanu引理，我們獲得了這些函數(shù)族各自的包含關系.作為應用，獲得了與Bernardi積分算子相聯(lián)系的對應結論.
　　 第三章中，應用卷積和Noor算子定義的方法，借助亞純函數(shù)空間上的算子Dn，我們定義了一類新的積分算子Ln，μ.結合四類經(jīng)典的亞純函數(shù)與新算子Ln，μ，我們定義了四類新的亞純函數(shù)族.通過應用Miller-Mocanu引理，我們得到了這些函數(shù)族的包含關系.此外，應用Jack引理，我們得到了

5、積分算子Jc的一些積分保持性質.
　　 第四章中，我們研究了幾類n-折對稱函數(shù)特殊的子族，如關于n-折對稱點的星像、凸像、α凸像以及α擬凸函數(shù)族.其中α擬凸函數(shù)族是我們首次定義的新函數(shù)族.在這一章中，我們獲得了這些函數(shù)族的一些有趣性質.首先，對關于n-折對稱點的星像與凸像函數(shù)，給出了包含關系、積分表示、卷積條件、增長定理、覆蓋定理與偏差定理.其次，對關于n-折對稱點的α凸像與α擬凸函數(shù)，我們獲得了包含關系、積分表示、卷積條件以及

6、積分性質.
　　 第五章中，我們引進了一類新的函數(shù)表達式并考慮了與其相關的微分不等式及一階微分從屬.應用Miller-Mocanu引理和一個非常有用的微分從屬定理，我們獲得了星像性與強星像性的一些充分條件.
　　 第六章中，利用Srivastava-Attiya算子，我們定義了兩類新的K-折對稱函數(shù)族的子族.通過應用Herglotz’s公式及卷積技術，我們得到了兩類函數(shù)族的積分表達式及相關的從屬結論；另外，通過應用Bri