微分從屬與幾何函數(shù)理論中若干問題的研究.pdf

1、幾何函數(shù)理論是復(fù)分析的一個重要分支，主要研究解析函數(shù)的幾何性質(zhì)，是幾何與分析緊密結(jié)合的一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域。它起源于19世紀，新的應(yīng)用持續(xù)不斷。在最近幾十年中，由于發(fā)現(xiàn)了代數(shù)幾何與緊黎曼面上的函數(shù)理論在構(gòu)建非線性可積系統(tǒng)“finite-gap”解之間存在關(guān)聯(lián)，人們對幾何函數(shù)理論的興趣更加濃厚。弦理論的雛形就依靠幾何函數(shù)論中的方法對Veneziano振幅進行計算。用譜分析處理線性和非線性邊界值和初值問題的新進展，甚至有可能使得幾何函數(shù)理論在偏微分

2、方程大范圍解方面發(fā)揮重要作用。幾何函數(shù)理論雖然是一門經(jīng)典學(xué)科，然而它卻在現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理、流體動力學(xué)、偏微分方程非線性可積系統(tǒng)等許多蓬勃發(fā)展的領(lǐng)域中不斷得到新的應(yīng)用。
　　 眾所周知，許多重要的單葉或多葉函數(shù)類(例如：凸函數(shù)，星像函數(shù))都與其導(dǎo)數(shù)有關(guān)，這些函數(shù)在信號理論、矩問題和構(gòu)造求積公式等方面起著重要作用。本文將利用微分從屬的方法引入和研究單葉或多葉函數(shù)新子類的一些性質(zhì)。全文共分五個部分。
　　 第一部分，我們簡要地介紹

3、與本文所研究問題有關(guān)的背景知識和相關(guān)概念。
　　 第二部分主要研究解析函數(shù)的幾個新子類的性質(zhì)，共分5節(jié)。第2.1節(jié)，我們定義函數(shù)類Tn(A，B，γ，α)如下：(公式略)這里(公式略)對于Tn(A，B,γ，α)中的函數(shù)，我們得到了Ref'(z)，Ref(z)/z，|f(z)|以及系數(shù)的精確估計。此外，我們還給出了單葉性和星形性條件、卷積性質(zhì)和凸性半徑。
　　 在2.2節(jié)中，我們進一步討論函數(shù)類Tn(A,B，1，α)的性質(zhì)，

4、主要研究(公式略)這里f(z)在函數(shù)類(公式略)中取值。
　　 在2.3節(jié)中，我們利用Dziok-Srivastava算子Hp，q，s(α1)與微分從屬，引入多葉解析函數(shù)類Ωp,q,s(α1，λ；h)：(公式略)這里λ是復(fù)數(shù)，h(z)是凸單葉函數(shù)，h(0)=1。在得到許多與Ωp,q.s(α1,λ；h)有關(guān)的包含關(guān)系的同時，我們還給出了卷積性質(zhì)和積分算子等結(jié)果。
　　 第2.4節(jié)，我們主要側(cè)重于廣義分數(shù)次微分積分算子Ωz(

5、λ,p)有關(guān)的多葉解析函數(shù)。1978年，Owa[75]引入了分數(shù)次微積分定義(即任意階的分數(shù)次積分D-λz和分數(shù)次導(dǎo)數(shù)Dλz)。最近，Patel和Mishra[82]推廣了Owa的定義，給出了多葉解析函數(shù)的廣義分數(shù)次微分積分算子Ωz(λ.p)：A(p)→A(p)(-∞＜λ＜p+1)的定義：(公式略)這里Dλzf分別是f的階為λ(-∞＜λ＜0)的分數(shù)次積分和f的階為λ(0≤λ＜p+1)的分數(shù)次導(dǎo)數(shù)。當(dāng)0≤λ＜1時，Srivastava和A

6、ouf[105,106]以及Srivastava和Mishra[108]研究了分數(shù)次微分算子Ωz(λ，p)。當(dāng)-∞＜λ＜p+1時，Patel和Mishra[82]得到了許多與分數(shù)次微分積分算子Ωz(λ,p)相關(guān)的p葉解析函數(shù)的性質(zhì)。在這些工作的基礎(chǔ)上，我們進一步討論并給出了一些與廣義分數(shù)次微分積分算子Ωz(λ,p)有關(guān)的多葉解析函數(shù)的有趣性質(zhì)。
　　 本章的最后一節(jié)，我們研究Sakaguchi函數(shù)[96]。這項工作繼續(xù)了文獻[9

7、6，78，17]的研究，改進了Owa等[78]和Cho等[17]的許多已知結(jié)果。
　　 本文的第三部分主要研究亞純多葉函數(shù)，分成3節(jié)。近年來，許多作者深入系統(tǒng)地研究了亞純p葉函數(shù)的許多重要性質(zhì)。
　　 第3.1節(jié)，我們考慮與線性算子Lp(a，c)有關(guān)的亞純p葉函數(shù)的性質(zhì)，給出了這些函數(shù)的實部估計。
　　 在3.2節(jié)中，我們定義了一個與線性算子Dn+p-1有關(guān)的亞純星像函數(shù)類Tn+p-1(α)(p∈N，n＞-p，0

8、≤α＜1)。值得指出的是，算子Dn+p-1與解析函數(shù)的Ruscheweyh導(dǎo)數(shù)[93]相似，且與上節(jié)中的算子Lp(a.c)有關(guān)，即：Lp(n+p，1)f(z)=Dn+p-1f(z)，f(z)∈∑p，我們得到了Tn+p-1(α)中函數(shù)的包含關(guān)系、積分變換和卷積等重要性質(zhì)。
　　 第3.3節(jié)主要考慮與超幾何函數(shù)有關(guān)的亞純多葉函數(shù)類Ωp,q，s(α1；A.B)和Ω+p,q.s(α1；A，B)，給出了類中函數(shù)的包含關(guān)系和其它一些性質(zhì)，特

9、別值得指出的是，我們將解析函數(shù)的鄰域概念[30,94]推廣到了亞純p葉函數(shù)。
　　 第四部分考慮一些解析函數(shù)的輻角不等式，采用的基本方法是微分從屬。
　　 在4.1節(jié)中，我們給出了階為α的p葉強星像函數(shù)的某些充分條件，所有這些結(jié)果都是精確的。特別地，我們得到了Nunokawa[67]用其它方法獲得的一個結(jié)果。
　　 用Ω表示U內(nèi)解析函數(shù)k(z)的全體，且k(0)=1，k(z)≠0(z∈U)。在4.2節(jié)中，利用微分