時間尺度上Hamilton系統(tǒng)的GKN理論及譜理論.pdf

1、　　經(jīng)典力學有三種等價的數(shù)學形式體系：Newton力學體系,Lagrange力學體系,Hamilton力學體系,其中Hamilton體系具有突出的對稱形式。運動的規(guī)律性在Hamilton形式下表現(xiàn)得最明顯,而且Hamilton形式有遠比Newton形式更廣的遍在性和普適性,一切守恒的真實物理過程都可以表示為Hamilton體系,無論這些過程是經(jīng)典的,量子的還是相對論的,無論其自由度是有限的還是無限的,總能表現(xiàn)為適當?shù)腍amilton形式

2、。因此Hamilton系統(tǒng)在數(shù)理科學,生命科學以及其它的許多科學領(lǐng)域,特別是量子力學,生物工程中有著非常重要的應(yīng)用,對連續(xù)Hamilton系統(tǒng)基本理論的研究已有很久的歷史了,對離散Hamilton系統(tǒng)的研究是近三十幾年的事。隨著信息技術(shù)的發(fā)展以及數(shù)字計算機的廣泛應(yīng)用,出現(xiàn)了很多以離散Hamilton系統(tǒng)為支撐的數(shù)學模型,對離散Hamilton系統(tǒng)理論的研究也吸引了越來越多人的關(guān)注,離散系統(tǒng)理論與其對應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)理論有許多相似的地方,但也

3、有許多不同之處。這種差異性豐富了整個理論,同時也使得人們對許多連續(xù)系統(tǒng)及其相應(yīng)的離散系統(tǒng)分別加以研究。
　　對離散系統(tǒng)的研究,盡管有獨立性,但連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)在理論上還是有一種驚人的相似性或者對偶性,離散系統(tǒng)中的很多結(jié)果或多或少與其對應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)類似,并且可以通過對其相應(yīng)的連續(xù)結(jié)果離散化得到。1988年,德國的Stefan Hilger在他的博士論文中首次提出了測度鏈(Measure chains)分析,即一個把連續(xù)與離散分析統(tǒng)

4、一的數(shù)學方法。1990年Hilger和他的導(dǎo)師首次研究了非齊次時間尺度上的動態(tài)過程,此文發(fā)表后受到數(shù)學家的廣泛關(guān)注。近年發(fā)展起來的時間尺度上的動力系統(tǒng)為我們提供了同時研究離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)所需要的一種數(shù)學方法。作為兩個極端的例子,當時間尺度是實數(shù)集時,對應(yīng)的動力系統(tǒng)就是微分系統(tǒng),當時間尺度是整數(shù)集時,對應(yīng)的動力系統(tǒng)就是差分系統(tǒng)。就此而言,時間尺度上的動力系統(tǒng)把微分系統(tǒng)和差分系統(tǒng)統(tǒng)一起來,避免了對一些同樣問題的重復(fù)研究。另一方面,時間尺度