雙時(shí)間尺度的隨機(jī)偏微分方程.pdf

1、自然科學(xué)和工程中的一些復(fù)雜系統(tǒng)可以由多時(shí)間尺度的隨機(jī)常微分方程或隨機(jī)偏微分方程來刻畫．這類隨機(jī)系統(tǒng)的定性分析引起了研究者廣泛的興趣．本文研究雙時(shí)間尺度的隨機(jī)偏微分方程，主要包含兩個(gè)方面的內(nèi)容：雙時(shí)間尺度隨機(jī)偏微分方程的強(qiáng)收斂意義下的平均化原理和雙時(shí)間尺度隨機(jī)偏微分方程的隨機(jī)慣性流形.
　　 本文的安排如下:
　　 在第一章中，介紹一些隨機(jī)過程理論和隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)理論中的基本的概念,定義，以及著名的It(o)公式.
　

2、　 在第二章中，研究由加性噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)FitzHugh-Nagumo系統(tǒng)．在耗散性條件下，可以證明快運(yùn)動(dòng)方程對(duì)應(yīng)的“固定”方程存在惟一滿足指數(shù)混合性的不變測度．由此，通過“平均化”慢運(yùn)動(dòng)方程的漂移系數(shù)，可以導(dǎo)出一個(gè)慢運(yùn)動(dòng)方程的有效方程．接下來，通過估計(jì)慢運(yùn)動(dòng)方程的解過程和有效方程的解過程在適當(dāng)空間中的偏差，可以證明強(qiáng)收斂意義的隨機(jī)平均化原理成立.
　　 在第三章中，考慮一個(gè)有界開區(qū)間上的雙時(shí)間尺度隨機(jī)拋物方程．這類模型源于狀

3、態(tài)空間被噪聲擾動(dòng)的物理系統(tǒng)，且此處所考慮的乘性型噪聲對(duì)快慢兩個(gè)運(yùn)動(dòng)都有擾動(dòng)．應(yīng)用類似于第二章中的技巧，證明強(qiáng)收斂意義下的平均化原理對(duì)于這類隨機(jī)拋物方程是成立的，由于考慮更為一般的乘性型噪聲，因而其證明過程有所不同，且比較復(fù)雜．在適當(dāng)?shù)臈l件下，當(dāng)固定慢變量時(shí)，可以得到快變量方程的一個(gè)“固定”方程，其指數(shù)混合性的不變測度是存在且唯一的．由此可以得到刻畫慢運(yùn)動(dòng)性態(tài)的一個(gè)平均化方程．最后，應(yīng)用Burkholder-Davis-Gundy不等式,

4、可以證明當(dāng)時(shí)間尺度參數(shù)趨于零時(shí)，慢運(yùn)動(dòng)方程的解過程強(qiáng)收斂于這個(gè)平均化方程的解過程.
　　 在第四章中，研究無窮維空間中雙時(shí)間尺度的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的不變流形，這類隨機(jī)系統(tǒng)由一類耦合的快-慢隨機(jī)發(fā)展方程所生成的，其具體的形式可以是耦合的隨機(jī)偏微分方程，也可以是耦合的隨機(jī)偏微分方程-常微分方程．在適當(dāng)?shù)臈l件下，可以證明上述的系統(tǒng)存在一個(gè)具有指數(shù)吸引性的隨機(jī)不變流形．進(jìn)一步還證明當(dāng)時(shí)間尺度參數(shù)趨于零時(shí)，這個(gè)不變流形趨于一個(gè)所謂的慢流形．通