雙時間尺度的隨機偏微分方程.pdf

1、自然科學(xué)和工程中的一些復(fù)雜系統(tǒng)可以由多時間尺度的隨機常微分方程或隨機偏微分方程來刻畫．這類隨機系統(tǒng)的定性分析引起了研究者廣泛的興趣．本文研究雙時間尺度的隨機偏微分方程，主要包含兩個方面的內(nèi)容：雙時間尺度隨機偏微分方程的強收斂意義下的平均化原理和雙時間尺度隨機偏微分方程的隨機慣性流形.
　　 本文的安排如下:
　　 在第一章中，介紹一些隨機過程理論和隨機動力系統(tǒng)理論中的基本的概念,定義，以及著名的It(o)公式.
　

2、　 在第二章中，研究由加性噪聲驅(qū)動的隨機FitzHugh-Nagumo系統(tǒng)．在耗散性條件下，可以證明快運動方程對應(yīng)的“固定”方程存在惟一滿足指數(shù)混合性的不變測度．由此，通過“平均化”慢運動方程的漂移系數(shù)，可以導(dǎo)出一個慢運動方程的有效方程．接下來，通過估計慢運動方程的解過程和有效方程的解過程在適當(dāng)空間中的偏差，可以證明強收斂意義的隨機平均化原理成立.
　　 在第三章中，考慮一個有界開區(qū)間上的雙時間尺度隨機拋物方程．這類模型源于狀

3、態(tài)空間被噪聲擾動的物理系統(tǒng)，且此處所考慮的乘性型噪聲對快慢兩個運動都有擾動．應(yīng)用類似于第二章中的技巧，證明強收斂意義下的平均化原理對于這類隨機拋物方程是成立的，由于考慮更為一般的乘性型噪聲，因而其證明過程有所不同，且比較復(fù)雜．在適當(dāng)?shù)臈l件下，當(dāng)固定慢變量時，可以得到快變量方程的一個“固定”方程，其指數(shù)混合性的不變測度是存在且唯一的．由此可以得到刻畫慢運動性態(tài)的一個平均化方程．最后，應(yīng)用Burkholder-Davis-Gundy不等式,

4、可以證明當(dāng)時間尺度參數(shù)趨于零時，慢運動方程的解過程強收斂于這個平均化方程的解過程.
　　 在第四章中，研究無窮維空間中雙時間尺度的隨機動力系統(tǒng)的不變流形，這類隨機系統(tǒng)由一類耦合的快-慢隨機發(fā)展方程所生成的，其具體的形式可以是耦合的隨機偏微分方程，也可以是耦合的隨機偏微分方程-常微分方程．在適當(dāng)?shù)臈l件下，可以證明上述的系統(tǒng)存在一個具有指數(shù)吸引性的隨機不變流形．進一步還證明當(dāng)時間尺度參數(shù)趨于零時，這個不變流形趨于一個所謂的慢流形．通