分階段Hamilton正則點(diǎn)約化理論及其應(yīng)用.pdf

1、對(duì)稱性是自然界中普遍存在的現(xiàn)象，具有對(duì)稱性的系統(tǒng)當(dāng)中蘊(yùn)含著某些重要的守恒性質(zhì)。利用這些守恒性質(zhì)可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行約化。對(duì)于一般的Hamilton系統(tǒng)，人們通常考慮的是Marsden等人發(fā)展的辛約化，即利用李群M對(duì)相空間P直接進(jìn)行約化。Marsden等人還研究了另外一種約化方式，即先通過(guò)M的正規(guī)子群N進(jìn)行第一階段約化，再通過(guò)商群M/N進(jìn)行第二階段約化。在階段假設(shè)的保證下，通過(guò)這兩種約化方式得到的約化空間是辛微分同胚的。半直積和李群擴(kuò)張的分階段

2、約化是分階段約化的兩個(gè)重要情況。帶有磁力項(xiàng)的余切叢約化對(duì)于李群的中心擴(kuò)張的分階段約化起著十分重要的作用。自上世紀(jì)末以來(lái)，Marsden，Otega等人在這方面進(jìn)行了深入的研究，很多現(xiàn)代辛幾何和Poisson幾何的理論被應(yīng)用到分階段約化理論中。隨后，這些方法被廣泛地應(yīng)用到剛體力學(xué)和流體動(dòng)力學(xué)，并取得了很多有價(jià)值的結(jié)果。本研究分為四個(gè)部分：
　　 第一部分介紹了討論分階段約化所必須的流形、李群、Hamilton系統(tǒng)、李群擴(kuò)張等基礎(chǔ)概

3、念，并介紹了Hamilton系統(tǒng)的正則點(diǎn)約化理論。為本文的討論建立了基礎(chǔ)。
　　 第二部分總結(jié)了一般的分階段約化理論和余切叢約化理論。討論了在階段假設(shè)下，兩階段約化得到的空間和直接約化得到的空間之間的辛微分同胚關(guān)系以及階段假設(shè)所起到的作用。這部分還討論了帶有磁力項(xiàng)的余切叢的約化問(wèn)題，為討論中心擴(kuò)張的約化奠定了基礎(chǔ)。
　　 第三部分給出了半直積群約化和中心擴(kuò)張約化的具體結(jié)果，并利用半直積群的李代數(shù)對(duì)偶中的元素都滿足階段假設(shè)