分階段Hamilton正則點約化理論及其應(yīng)用.pdf

1、對稱性是自然界中普遍存在的現(xiàn)象，具有對稱性的系統(tǒng)當(dāng)中蘊含著某些重要的守恒性質(zhì)。利用這些守恒性質(zhì)可以對系統(tǒng)進行約化。對于一般的Hamilton系統(tǒng)，人們通?？紤]的是Marsden等人發(fā)展的辛約化，即利用李群M對相空間P直接進行約化。Marsden等人還研究了另外一種約化方式，即先通過M的正規(guī)子群N進行第一階段約化，再通過商群M/N進行第二階段約化。在階段假設(shè)的保證下，通過這兩種約化方式得到的約化空間是辛微分同胚的。半直積和李群擴張的分階段

2、約化是分階段約化的兩個重要情況。帶有磁力項的余切叢約化對于李群的中心擴張的分階段約化起著十分重要的作用。自上世紀末以來，Marsden，Otega等人在這方面進行了深入的研究，很多現(xiàn)代辛幾何和Poisson幾何的理論被應(yīng)用到分階段約化理論中。隨后，這些方法被廣泛地應(yīng)用到剛體力學(xué)和流體動力學(xué)，并取得了很多有價值的結(jié)果。本研究分為四個部分：
　　 第一部分介紹了討論分階段約化所必須的流形、李群、Hamilton系統(tǒng)、李群擴張等基礎(chǔ)概

3、念，并介紹了Hamilton系統(tǒng)的正則點約化理論。為本文的討論建立了基礎(chǔ)。
　　 第二部分總結(jié)了一般的分階段約化理論和余切叢約化理論。討論了在階段假設(shè)下，兩階段約化得到的空間和直接約化得到的空間之間的辛微分同胚關(guān)系以及階段假設(shè)所起到的作用。這部分還討論了帶有磁力項的余切叢的約化問題，為討論中心擴張的約化奠定了基礎(chǔ)。
　　 第三部分給出了半直積群約化和中心擴張約化的具體結(jié)果，并利用半直積群的李代數(shù)對偶中的元素都滿足階段假設(shè)