有限Coxeter群上統(tǒng)計(jì)量的研究.pdf

1、排列是組合學(xué)中一個(gè)經(jīng)典的研究對象，與許多其它組合結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，包括樹、格路、無交叉集合劃分、01-矩陣、標(biāo)準(zhǔn)楊表等。自著名組合學(xué)家P.A.MacMahon在20世紀(jì)初的標(biāo)志性工作以來，排列統(tǒng)計(jì)量的研究成為組合學(xué)領(lǐng)域一個(gè)重要研究課題。排列上重要的統(tǒng)計(jì)量包括主指標(biāo)、逆序數(shù)、下降數(shù)、勝位數(shù)等。眾所周知，排列構(gòu)成的對稱群是A型Coxeter群。對稱群上統(tǒng)計(jì)量的許多結(jié)果已被推廣到B型Coxeter群和D型Coxeter群上。
　　本文主要研

2、究A型、B型和D型Coxeter群上（整數(shù)值）統(tǒng)計(jì)量和集合值統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)。我們的貢獻(xiàn)主要包括如下幾個(gè)方面。第一，利用D.Foata和G.-N.Han在對稱群上的一個(gè)雙射，我們回答了T.K.Petersen關(guān)于尋找一個(gè)等分布結(jié)果的組合解釋的問題。我們還重新得到了S.Poznanovi(c)在帶限制的排列上的一個(gè)等分布結(jié)果，并將兩個(gè)排列統(tǒng)計(jì)量推廣至標(biāo)準(zhǔn)Fibonacci表上。第二，通過在B型排列上構(gòu)造雙射，引入若干新的集合值統(tǒng)計(jì)量，我們得到

3、等分布的六組四元集合統(tǒng)計(jì)量，從而推廣了Foata和Han關(guān)于集合統(tǒng)計(jì)量的分布結(jié)果。進(jìn)一步，我們還考慮B型排列的分解結(jié)構(gòu)和帶限制的情況，并由此得到若干細(xì)化和加強(qiáng)形式。第三，通過在D型排列上引入D型排列碼，我們構(gòu)造了一個(gè)雙射，從而得到了Petersen另一個(gè)等分布結(jié)果的加強(qiáng)形式，同時(shí)我們也用群代數(shù)的工具給出了一個(gè)代數(shù)證明。
　　本論文的結(jié)構(gòu)如下。
　　在第一章中，我們回顧了相關(guān)的研究背景和基礎(chǔ)知識。具體而言，我們介紹了Coxet

4、er系統(tǒng)、對稱群、排列統(tǒng)計(jì)量、Dyck路、完美匹配等。同時(shí)，我們給出了一些已知的統(tǒng)計(jì)量的生成函數(shù)公式。
　　在第二章中，通過研究Foata和Han利用排列碼構(gòu)造的雙射，我們得到若干排列統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)。在本章的第二節(jié)中，我們給出了一個(gè)等分布結(jié)果的組合解釋，從而回答了Petersen的一個(gè)問題。在第三節(jié)中，我們證明了帶限制的排列上的一個(gè)等分布結(jié)論，這對應(yīng)于在n行n列的Ferrers板上放置n個(gè)互不攻擊的車。在本章最后一節(jié)，受K.Kill

5、patrick將MacMahon關(guān)于對稱群上主指標(biāo)和逆序數(shù)的等分布這一經(jīng)典結(jié)果推廣至標(biāo)準(zhǔn)Fibonacci表上的研究的啟發(fā)，我們將一些排列統(tǒng)計(jì)量推廣到標(biāo)準(zhǔn)Fibonacci表上。
　　在第三章中，我們在B型排列上引入若干新的集合值統(tǒng)計(jì)量并得到了這些統(tǒng)計(jì)量的分布結(jié)果。本章包含的結(jié)果可概括如下。我們在第三節(jié)中定義B型排列的兩個(gè)排列碼，這給出Foata和Han關(guān)于排列碼的B型模擬。在第四節(jié)中我們構(gòu)造了Bn上的一個(gè)雙射，從而得到了B型Co

6、xeter群上的六組四元集合統(tǒng)計(jì)量的等分布性，這刻畫了B型排列的圈表示、從左到右極大位、從右到左極小元的聯(lián)合分布性質(zhì)。同時(shí)，我們利用B型排列的一個(gè)分解得到了這些等分布組的細(xì)化結(jié)果。此外，作為推論，我們還得到一些整數(shù)值統(tǒng)計(jì)量在B型Coxeter群上的等分布性質(zhì)。在本章最后一節(jié)，我們考慮了此雙射在特定限制的B型排列上的性質(zhì)，得到另一個(gè)細(xì)化結(jié)果，其特殊化對應(yīng)于S.Poznanovi(c)應(yīng)用染色匹配和染色Dyck路得到的等分布結(jié)果。